333 lines
8.9 KiB
Markdown
333 lines
8.9 KiB
Markdown
---
|
||
title: "Oppsumering av TFE4146"
|
||
description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
|
||
math: true
|
||
permalink: /:path
|
||
date: 2020-11-20
|
||
---
|
||
|
||
{% include utilities/toc.html %}
|
||
|
||
## Grunnleggende om halvledere
|
||
|
||
### Historie
|
||
|
||
* **1830** - Mekanisk
|
||
* **1944** - Elektromekanisk
|
||
* **1946** - Releer og radiorør
|
||
* **1948** - Transistor
|
||
* **1958** - Første IC
|
||
* **1971** - Første mikroprosessor
|
||
* **2020** - Der i er i dag med nanoelektronikk
|
||
|
||
Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal.
|
||
Skal dobles hver 18-24 måneder.
|
||
|
||
### Halvledere
|
||
|
||
|
||
|
||
### Atomer og elektroner
|
||
|
||
#### Uskarphetsrelasjonen
|
||
|
||
$$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
|
||
|
||
#### Paulti prinsippet
|
||
|
||
> To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.
|
||
|
||
#### Schrödingers likning
|
||
|
||
|
||
$$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$
|
||
|
||
##### Løsninger
|
||
|
||
$$ \psi(x) = Ae^{\pm ikx} \quad E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$
|
||
|
||
Partikkel i en "boks".
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
### Effektiv masse
|
||
|
||
$$ m^* = \frac{\hbar ^2}{\frac{d^2 E}{d k^2}} $$
|
||
|
||
Ser på krumningen til energien i k-rommet.
|
||
Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.
|
||
|
||
### Intrisisk materiale
|
||
|
||
Inneholder bare en type materiale.
|
||
|
||
$$ n = p = n_i $$
|
||
|
||
Der $n$ er tettheten av frie elektroner i lednignsbånd (CB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
|
||
$p$ er tettheten av hull i valensbåndet (VB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
|
||
Og $n_i$ er den intrisiske elektrontettheten, målt i $\text{cm}^{-3}$.
|
||
|
||
|
||
|
||
### Ekstrinsiske materialer
|
||
|
||
Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale.
|
||
|
||
I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).
|
||
|
||
#### n-type
|
||
|
||
$$ n_0 \gg p_0,n_i $$
|
||
|
||
Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
|
||
|
||
#### p-type
|
||
|
||
$$ p_0 \gg n_0,n_i $$
|
||
|
||
Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
|
||
|
||
### Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer
|
||
|
||
Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.
|
||
|
||
$$ r_i = g_i $$
|
||
$$ r_i = \alpha n_0 p_0 = \alpha n_i^2 = g_i $$
|
||
|
||
|
||
|
||
### Bærertetthet
|
||
|
||
Hvordan beskrive hvordan $e^-$ og $h^+$ er fordelt i CB og VB.
|
||
|
||
$$ \delta n(E) = N(E) \cdot f(E) \cdot \delta E $$
|
||
|
||
Der
|
||
* $\delta n(E)$ er tettheten av $e^-$ i CB.
|
||
* $N(E)$ er mulige av elektrontilstander
|
||
* $f(E)$ er Fermi-Dirac sannsynlighetsfordelingen
|
||
* $\delta E$ er energidifferansen vi ser på. I tilfellet over, er det $E_g$.
|
||
|
||
Finnes flere typer
|
||
* Isotropisk båndstruktur
|
||
* Anisotropisk båndstruktur
|
||
|
||
$$ N_C(E) = 4\pi \left(\frac{2m^*}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot E^\frac{1}{2} $$
|
||
|
||
|
||
#### Fermi-Dirac
|
||
|
||
$$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp{\frac{E - E_F}{k_B T}}} $$
|
||
|
||
##### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
|
||
|
||
|
||
I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet.
|
||
For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.
|
||
|
||
#### Frie elektroner og hull
|
||
|
||
Ved å se på "summen" av elektrontilstander, $ N_C $ og sannsynligheten for å finne dem der.
|
||
|
||
$$ \int_{0}^\infty f(E)N_C(E) dE $$
|
||
|
||
Gir oss en likning for frie elektroner i termisk likevet.
|
||
|
||
$$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N_c} e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}} $$
|
||
|
||
Som forkortet, og på samme måte for $p_0$
|
||
|
||
$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
|
||
|
||
$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
|
||
|
||
#### Noen resultater
|
||
|
||
$$ n_0 p_0 = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
|
||
$$ n_i p_i = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
|
||
|
||
Som sammen med $n_i = p_i$, gir følgende:
|
||
|
||
$$ n_0 p_0 = n_i^2 $$
|
||
|
||
Dette gir oss igjen
|
||
|
||
$$ n_0 = n_i e^{-\frac{E_F - E_i}{k_B T}} $$
|
||
|
||
$$ p_0 = n_i e^{-\frac{E_i - E_F}{k_B T}} $$
|
||
|
||
|
||
#### Noen eksempler på bærertetthet
|
||
|
||
|
||
|
||
### Drift av ladningsbærere
|
||
|
||
Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.
|
||
|
||
Dersom det påtrykkes et elektrisk felt, vil partiklene fremdeles drifte, men de vi ha en netto bevegelse i en retning.
|
||
Elektroner vil bevege seg mot feltet, og hull vil bevege seg med.
|
||
|
||
Strømmen er beskrevet av følgende:
|
||
|
||
$$ J_x = q(n\mu_n + p\mu_p)E_x $$
|
||
|
||
Der
|
||
|
||
$$ \mu_n = \frac{q \tau}{m_n^*} \quad \text{og} \quad \mu_p = \frac{q \tau}{m_p^*} $$
|
||
|
||
### Hall-effekten
|
||
|
||
Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.
|
||
|
||
|
||
|
||
Vi bruker Lortenz kraften, gitt som under:
|
||
|
||
$$ \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}\right)$$
|
||
|
||
Ved påtrykt strømm, $J_x$ og magnetfelt $B$ vil det settes opp et elektrisk felt mellom kontaktene A og B.
|
||
|
||
La halvlederen være en p-type, da vil, pga. Lorenz-kraften gjøre at hull beveger seg mot kontakten A. Og dermed lage et målbart elektrisk felt fra A til B.
|
||
|
||
Motsatt felt for n-type med samme strøm og magnetfelt.
|
||
|
||
Tettheten vil da være gitt som under.
|
||
|
||
$$ E_y = \frac{J_x}{qp_0}B_z = R_H J_x B_z $$
|
||
|
||
$$ R_H \equiv \frac{1}{qp_0} $$
|
||
|
||
Som gir følgende
|
||
|
||
$$ p_0 = \frac{I_x B_z}{q t V_{AB}} $$
|
||
|
||
### Diffusjon
|
||
|
||
Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.
|
||
|
||
> Diffusjon er å utligne konsentrasjonsforskjeller over tid, ved bruk av en tilfeldig prosess.
|
||
|
||
To viktige parameter i diffusjon:
|
||
* Spredningstiden $\tau$, gjennomsnittlig spredningsintervall
|
||
* Spredningslengden $\bar{l}$, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger
|
||
|
||
#### Elektronfluxen gitt av diffusjon
|
||
|
||
For elektroner:
|
||
|
||
$$ \phi_n(x) = -D_n \frac{dn(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
|
||
|
||
For hull:
|
||
|
||
$$ \phi_p(x) = -D_p \frac{dp(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
|
||
|
||
$D_n$ og $D_p$ kalles diffusjonskonstantene.
|
||
|
||
#### Strømmen gitt av diffusjon
|
||
|
||
For elektroner:
|
||
|
||
$$ J_n^\text{diff} = q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
|
||
|
||
For hull:
|
||
|
||
$$ J_p^\text{diff} = -q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
|
||
|
||
#### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt
|
||
|
||
For elektroner:
|
||
|
||
$$ J_n(x) = q\mu_n n(x) E(x) + q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
|
||
|
||
For hull:
|
||
|
||
$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
|
||
|
||
Der summen av disse gir den totale strømmen:
|
||
|
||
$$ J(x) = J_n(x) + J_p(x) $$
|
||
|
||
### Einsteinrealasjonen
|
||
|
||
> I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.
|
||
|
||
$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$
|
||
|
||
Som gir:
|
||
|
||
\begin{align\*}
|
||
E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\\\\
|
||
E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right)
|
||
\end{align\*}
|
||
|
||
Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$.
|
||
Dermed får vi Einsteinrelasjonen:
|
||
|
||
$$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$
|
||
|
||
|
||
### Kontinuitetslikningen
|
||
|
||
Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.
|
||
|
||
|
||
|
||
$$ \frac{\partial \delta n(x,t)}{\partial t} = \phantom{-}\frac{1}{q}\frac{\partial J_n(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta n}{\tau_n} $$
|
||
|
||
$$ \frac{\partial \delta p(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p} $$
|
||
|
||
|
||
### Steady State
|
||
|
||
Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.
|
||
|
||
|
||
|
||
Man kan videre anta at det er en konstant hulltetthet på enden med lyset.
|
||
|
||
$$ \delta p(x=0) = \Delta p $$
|
||
|
||
Fra diffusjon kan man anta at hullene diffunderer ut over i biten.
|
||
Siden det ikke er noen tidsavhengighet i hullkonsentrajsonen vil diffusjonsliknignen bli:
|
||
|
||
$$ \frac{d^\delta p}{dx^2} = \frac{\delta p}{D_p \tau_p} \equiv \frac{\delta p}{L_p^2} $$
|
||
|
||
Der $ L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p} $.
|
||
|
||
Denne har en generell løsning:
|
||
|
||
$$ \delta p = C_1 \exp{\frac{x}{L_p}} + C_2 \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
|
||
|
||
Og med grensebetingelser, $\delta p(x=0) = \Delta p$ og $\delta p(x \rightarrow \infty) = 0$, gir det oss:
|
||
|
||
$$ \delta p(x) = \Delta p \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
|
||
|
||
|
||
### Haynes-Shockley eksperimentet
|
||
|
||
Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.
|
||
|
||
|
||
|
||
Vi bruker prinsippet om steady state for å finne mobiliteten til minoritetsladningsbærere og diffusjonskonstanten.
|
||
|
||
Ved å trykke på en strøm på ene siden, vil vi få et E-felt over halvlederen.
|
||
Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en utsmørt versjon av pulsen etter en tid $t_d$.
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
## PN-overganger
|
||
|
||
Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale.
|
||
Dermed ved termisk likevekt er følgende sant.
|
||
|
||
$$ \frac{d E_F}{ d x} = 0 $$
|
||
|
||
$$ n_n \gg n_p $$
|
||
|
||
$$ p_p \gg p_n $$ |