Finish lecture 11, DFT

assets/css/components/theme.css

@@ -110,5 +110,3 @@ a:hover {
 .MJX_LiveRegion {
   display: none;
 }
-
-

ntnu/ttt4120/summary/summary.md

@@ -30,9 +30,9 @@ $T$ trenger ikke å være tid, men f.eks. posisjonen på en stang.
 
 $$ 
 \begin{gather*}
-	y[n] = ax[n] \\
-	y[n] = x_1[n] + x_2[n] \\
-	y[n] = x_1[n]x_2[n]
+  y[n] = ax[n] \\
+  y[n] = x_1[n] + x_2[n] \\
+  y[n] = x_1[n]x_2[n]
 \end{gather*} 
 $$
 
@@ -40,8 +40,8 @@ $$
 
 $$ 
 \begin{gather*}
-	y[n] = x[n-k] \\
-	y[n] = -x[n] 
+  y[n] = x[n-k] \\
+  y[n] = -x[n] 
 \end{gather*} 
 $$
 
@@ -86,8 +86,8 @@ $$ P_x = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2N + 1}\sum_{n=-N}^N |x[n]|^2 $$
 
 $$ \delta[n-k] = 
 \begin{cases}
-	1 & n=k \\
-	0 & n\neq k
+  1 & n=k \\
+  0 & n\neq k
 \end{cases} $$
 
 Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
@@ -96,15 +96,684 @@ Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
 
 $$ u[n-k] = 
 \begin{cases}
-	1 & n\geq k \\
-	0 & n < k
+  1 & n\geq k \\
+  0 & n < k
 \end{cases}
 $$
 
 Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
 
 
+#### Sinus
+
+Dersom en sinus-kurve skal være periodisk med en periode $N$, og siden vi vet at en diskret-tid sinus er periodisk med $2\pi$, har vi at:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \cos(2\pi n) &= \cos(2\pi f (n+N)) \\
+  \Rightarrow 2\pi f N &= 2\pi k \\	
+  \Rightarrow f &= \frac{k}{N}
+\end{aligned}
+$$
+
+### Kompleks-eksponensial
+
+$$ x[n] = Ae^{[2\pi f n + \theta]} $$
+
+Denne har også en periodisitet på $2\pi$, og sekvensen er periodisk dersom $f$ er rasjonell.
+
+Denne er veldig viktig i diskret-tid Fourier representasjon.
+
+### Sampling av en sinus-funksjon
+
+Anta vi sampler en analog sinus-funksjon med intervallene $nT = \frac{n}{F_S}$:
+
+$$ x_a(t) = A\cos(\Omega t) = A\cos(2\pi F t) $$
+
+Da vil den diskrete sekvensen være:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  x[n] 	&= x_a(nT) \\
+        &= A\cos\left[2\pi\frac{F}{F_S}n\right] \\
+        &= A\cos\left[2\pi f n\right]
+\end{aligned}
+$$
+
+Der vi har $f=\frac{F}{F_S}$ eller $\omega = \Omega T$, som er den relative/normaliserte frekvensen (uavhengig av samlingfreksensen).
+
+Fra før vet vi at:
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+  -\frac{1}{2} < &f \leq \frac{1}{2} \\
+  -\frac{F_S}{2} < &f \leq \frac{F_S}{2}
+\end{aligned}
+$$
 
 
+### Dekomponering av signaler
+
+Vi kan få ut en verdi av en sekvens ved å gange inn enhetspulsen på en gitt $n$. 
+
+$$ x[k] = x[n]\delta[n-k] $$
+
+Der hele signalet kan gis som en sum av hver sekvensverdi:
+
+$$ x[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k] $$
+
+### Diskret-tid-systemer
+
+Et diskret-tid-system kan klassifiseres som:
+* Lineær eller ikke-lineær
+* Tidsinvariant eller tidsvariant
+* Kausale eller ikkekausale
+
+I diskret-tid-systemer gjelder følgende:
+* Superpossisjon (lineæritet)
+* Varierer ikke med tiden (tidsinvariant)
+* Kausalt
+  * Resultatet er kun avhengig av tidligere eller nåværende verdier
+* Ikke-kausalt
+  * Gunstig å implimentere der vi vet alle verdier i en sekvens, men ikke i sanntidssystemer.
+* Stabile
+  * Et system er kun stabilt dersom for hvert bundet inngangssignal er det et bundet utgangssignal.
+
+### Impulsrespons
+
+Vi sender ut en enhetspuls og ser på hvordan systemet utvikler seg.
+
+![Impulsrespons](figures/impulseResponse.png)
+
+Vi kan finne impulsresponsen ved å sette $x[n] = \delta[n]$.
+Da får vi at $y[n] = h[n]$.
+
+### Konvolusjon
+
+$$
+\begin{aligned}
+  y[n] 	&= \mathcal{H}\{x[n]\} \\
+        &= \mathcal{H}\left\{\sum_k x[k]\delta[n-k]\right\}\\
+        &= \sum_k x[k]\mathcal{H}\left\{\delta[n-k]\right\} \\
+        &= \sum_k x[k] h[n-k] \\
+        &= x[n] * h[n]
+\end{aligned}
+$$
+
+Det er mulig å gjøre konvolusjon både stegvis eller med en matrise. 
+
+Matrisen er bare å lage en "gangetabell med verdiene i sekvensene, gange sammen og summere anti-diagonalene.
+
+![Utregning av Konvolusjon](figures/diagonalConv.png)
+
+Dersom lengden av sekvensen $x[n]$ er $N_x$ og lengden av $h[n]$ er $N_h$, vil lengden av konvolusjonen være:
+
+$$ N_y = N_x + N_h - 1 $$
+
+### Lengde av systemer
+
+Det finnes to typer lengde på impulsresponsen. IIR og FIR.
+
+#### IIR
+
+"Infinite(-duration) impulse response", er et system der lengden av impulsresponsen er uendelig i lengde. Typisk er utgangen avhengig av forrige resultat.
+
+#### FIR
+
+"Finite(-duration) impulse response", er et system der impulsresponsen har en endelig lengde.
 
 
+## Diskret-tid Fourieranalyse
+
+Analytisk transformasjon (DTFT)
+
+$$ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j\omega n} $$
+
+Og invers transformasjon (syntetisk transformasjon)
+
+$$ x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\omega) e^{j\omega n} d\omega$$
+
+Grensene for frekvensdomenet er fra $-\pi$ til $\pi$.
+
+Notasjonen er som følger
+
+$$ x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(\omega) $$
+
+### Egenskaper
+
+#### Symmetri
+
+Odde og like funksjoner, likt som imaginære og ikke imaginære (reelle).
+
+* Odd: $x[-n] = -x[n]$
+* Lik: $x[-n] = x[n]$
+
+Man kan skrive en sekvens på formen:
+
+$$ x[n] = \underbrace{x_R[n]}_{\text{reell}} + \underbrace{jx_I[n]}_{\text{imaginær}} $$
+
+![DTFT symmetrier](figures/DTFTSymmetry.png)
+
+#### Andre egenskaper
+
+* Tidsforskyvning
+
+$$ x[n-k] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow}e^{-j\omega n}X(\omega) $$
+
+* Tidsreversering
+
+$$ x[-n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(-\omega) $$
+
+* Konvolusjon
+
+$$ x_1[n] * x_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X_1(\omega)X_2(\omega) $$
+
+* Frekvensskifting
+
+$$ e^{j\omega_0 n}x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(\omega - \omega_0) $$
+
+* Modulasjon
+
+$$ 
+\begin{gather*}
+  x[n] \cos(\omega_0 n) \\
+  \updownarrow\mathcal{F} \\
+  \frac{1}{2}\left[(X(\omega - \omega_0)+ (X(\omega + \omega_0)\right]
+\end{gather*} 
+$$
+
+* Parseval
+
+$$ 
+\begin{gather*}
+  \sum_n |x[n]|^2\\
+  \updownarrow\mathcal{F} \\
+  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\omega)d\omega
+\end{gather*} 
+$$
+
+* Vindu
+
+$$ 
+\begin{gather*}
+  x_1[n]x_2[n]\\
+  \updownarrow\mathcal{F} \\
+  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X_1(\lambda)X_2(\omega - \lambda)d\omega
+\end{gather*} 
+$$
+
+## Z-transformasjon
+
+Z-transformasjonen av et diskret sekvens er gitt som:
+
+$$ X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n} $$
+
+Notasjonen er:
+
+$$x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(z)$$
+
+$$x[n] = \mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}$$
+
+Transformasjonen transformerer en sekvens til den tilsvarende representasjonen i det komplekse $z$-planet.
+
+ROC (Region of convergence) er settet med alle verdier av $z$ der $X(z)$ har en endelig verdi.
+
+Transformasjonen bestemmer ikke unikt tids-sekvensen. 
+Ved å velge en ROC kan vi lage et ønsket signal/filter.
+
+Dersom vi har at ROC er alt utenfor en sirkel, er sekvensen *kausal*.
+
+Dersom ROC er innsiden av en sirkel, er sekvensen ***anti**kausal*.
+
+### Egenskaper
+
+* Lineær
+  * ROC av resultatet er minst $\mathcal{R}\_{X_1} \cap \mathcal{R}\_{X_2}$
+* Tidsforskyvning
+  * ROC lik som for $X(z)$
+
+$$ x[n-k] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow}z^{-k}X(z) $$
+
+* Skalering
+  * Dersom ROC før skalering er $r_1 < \|z\| < r_2$, så er ROC etter lik $\|a\|r_1 < \|z\| < \|a\|r_2$.
+
+$$ a^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(a^{-1} z) $$
+
+* Tidsreversering
+  * Dersom ROC er $r_1 < \|z\| < r_2 $, så er ROC etter tidsreversering $\frac{1}{r_2} < \|z\| < \frac{1}{r_1}$
+
+$$ x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(z^{-1}) $$
+
+* Konvolusjon
+  * ROC minst snittet av ROC til $X_1$ og $X_2$.
+
+$$ x_1[n]*x_2[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z)$$
+
+* Derivering
+  * ROC er den samme
+  * Initialverditeroremet: $x[0] = \lim_{z\rightarrow \infty}X(z)$, betyr at $x[n]$ er kausalt.
+
+$$ nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} $$
+
+### Rasjonelle z-transformasjoner
+
+Rasjonell dersom transformasjonen kan bli representert som forholdet mellom to polynomer i $z^{-1}$ eller $z$.
+
+$$
+\begin{aligned}
+  X(z) 	&= \frac{B(z)}{A(z)} \\
+        &= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots + b_M z^{-M} }{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots + a_N z^{-N}} \\
+        &= \frac{b_0}{a_0}\frac{\prod_{k=1}^M \left(1-z_k z^{-1}\right)}{\prod_{k=1}^N \left(1-p_k z^{-1}\right)}
+\end{aligned}
+$$
+
+
+### Systemanalyse
+
+![Systemanalyse](figures/linearTimeInvariant.png)
+
+Dersom vi har et system som vist over, sender inn en sekvens $x[n]$ eller $X(z)$ og observerer utgangen $y[n]$ eller $Y(z)$, kan vi finne systemfunksjonen.
+
+$$h[n] = \frac{y[n]}{x[n]}$$
+
+$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} $$
+
+Vi kan bruke transformasjonen til å gå mellom dem.
+
+Begge er helt ekvivalente.
+
+#### Kausalitet og stabilitet
+
+For at et system skal være kausalt, må ROC være alt utenfor en sirkel.
+
+For at et system skal være BIBO stabilt, må enhetssirkelen $z = e^{-j\omega}$ være med i ROC.
+
+Det er mulig å bestemme om et system er kausal og stabilt ved å velge ROC.
+
+ROC må heller ikke inneholde noen poler.
+
+#### Frekvensrespons
+
+For å finne frekvensresponsen til et system, "går" man langs enhetsirkelen, fra $-\pi$ til $\pi$.
+
+
+##### Utregning
+
+Dersom vi har frekvensresponsen til et system:
+
+$$ H_1(z) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} $$
+
+Matlabløsningen er som under
+
+{% highlight matlab %}
+B = 1;
+A = [1 -0.5];
+figure(1)
+zplane(B,A)
+figure(2)
+[H,W]=freqz(B,A);
+plot(W/pi,abs(H));
+{%endhighlight%}
+
+
+## Filteregenskaper
+
+Frekvensresponsen til et system bestemmer hvordan type system det er.
+
+* Båndpass
+  * Slipper gjennom visse frekvenser
+* Båndstopp
+  * Stopper visse frekvenser
+* Lavpass
+  * Slipper gjennom lave frekvenser
+* Høypass
+  * Slipper gjennom høye frekvenser
+
+### Lavpass
+
+I et lavpassfilter ønsker vi å putte polene nærme(re) $z=1$, og nuller nærme(re) $z=-1$.
+
+Dersom vi ser på et pol-null-plot ser vi at frekvensen er $0$ ved $z=1$, og poler forsterker et signal når vi er "nærme" det (ref tilbake til hvordan finne frevensresponsen til en z-transformasjon).
+
+### Høypass
+
+I et høypassfilter ønsker vi det motsatte av et lavpassfilter. Vi ønsker å putte så mange nuller nærheten av $z=1$, og så mange poler i nærheten av $z=-1$.
+
+Dette er av samme grunn som for et lavpass.
+
+### "Notch"-filter
+
+Kan isolere seg rundt en veldig spesifik frekvens og fjerne den.
+
+For å oppnå dette, så kan man putte noen nuller på enhetssirkelen og noen poler i nærheten av nullene. Da får vi veldig smale bånd.
+
+### Kamfilter
+
+Litt som et omvendt "notch"-filter. Det er periodiske nuller langs enhetssirkelen. Ender opp med noe som ligner på en kam.
+
+### Allpassfilter
+
+Dette filteret har en amplituderespons på $1$. Men den kan endre fasen på signalet ved gitte frekvenser.
+
+### Lineær-fase-filtere
+
+Dette er ønskelig, fordi da får vi kun en tidsforsinkning i utgangssignalet i båndpass. 
+For et lavpass er dette for lave frekvenser.
+
+$$ \angle H(\omega) = a + b\omega $$
+
+Der 
+
+$$H(\omega) = |H(\omega)| e^{j\angle H(\omega)} $$
+
+Da vil nullene komme i resiproke par. 
+Altså dersom vi har en null i en vinkel, og avstand fra enhetssirkelen. Da vil den resiproke nullen være i samme vinkel, men samme avstand fra enhetssirkelen, bare på andre siden av sirkelen. 
+
+![Lineær fase](figures/LinearPhase.svg)
+
+## Inverse- og minimumsfase-systemer
+
+Dersom et system $\mathcal{T}$ er inverterbart, kan vi finne inngangssignalet dersom vi har utgangsignalet og den inverterbare systemgfunksjonen.
+
+$$
+\begin{gather*}
+  h[n]*h_I[n] = \delta[n] \\
+  \updownarrow\mathcal{Z} \\
+  H(z)H_I(z) = 1
+\end{gather*}
+$$
+
+
+### Minimumsfasefilter
+
+Et system kalles minimumfase dersom alle nuller og poler ligger innenfor enhetssirkelen.
+
+Et stabilt pol-null-system som er av typen minimum fase har en stabil invers som også er minimum fase.
+
+## Korrelasjon
+
+Korrelasjon er et mål på likhet. 
+
+### Krysskorrelasjon
+
+Dersom vi har en sekvens $x[n]$ og $y[n]$, vil kryssrelasjonen mellom disse to være:
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+  r_{xy}[l]	&= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]y[n-l] \\
+            &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n + l]y[n] \\
+            &\phantom{=} \text{der } l = \pm 1, \pm 2, \ldots
+\end{aligned}
+$$
+
+Denne måler likheten mellom signalene $x[n]$ og $y[n]$.
+
+Denne er ikke "kommutativ", altså $r_{xy}[l] \neq r_{yx}[l]$. 
+
+Men følgende holder:
+
+$$r_{yx}[l] = r_{xy}[-l]$$
+
+### Autokorrelasjon
+
+Måler selvlikhet, $y[n] = x[n]$.
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+  r_{xx}[l]	&= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]x[n-l] \\
+            &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n + l]x[n] \\
+            &\phantom{=} \text{der } l = \pm 1, \pm 2, \ldots
+\end{aligned}
+$$
+
+#### Egenskaper til autokorrelasjon
+
+Energi i sekvenser $x[n]$:
+
+$$ E_x = \sum_{n=-\infty}^\infty x^2[n] = r_{xx}[0] \geq 0 $$
+
+Autokorrelasjonen har maksimum lag $l=0$:
+
+$$ |r_{xx}[l]| \leq r_{xx}[0] = E_x $$
+
+Autokorrelasjon er en lik funksjon:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  r_{xy}[l]	&= r_{yx}[-l]	\\
+            &\Downarrow		\\
+  r_{xx}[l]	&= r_{xx}[-l]
+\end{aligned}
+$$
+
+Normaliserte versjoner:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \varrho_{xx}[l]   &= \frac{r_{xx}[l]}{r_{xx}[0]} 	\\
+                    &\Downarrow 										\\
+  |\varrho_{xx}[l]| &\leq 1													\\ \\
+  \varrho_{xy}[l]		&= \frac{r_{xy}[l]}{\sqrt{r_{xx}[0]r_{yy}[0]}}\\
+                    &\Downarrow 																	\\
+  |\varrho_{xy}[l]| &\leq 1
+\end{aligned}
+$$
+
+### Spektral tetthet (Energi)
+
+Størrelsen $S_{xx}(\omega)\geq 0$ er den *spektrale tettheten* til $x[n]$.
+
+For å finne denne størrelsen, gjør vi en Fourier-transformasjon av autokorrelasjonen $r_{xx}[n]$:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  r_{xx}[l]     &= x[l] * x[-l] 					\\
+                &\updownarrow \mathcal{F}	\\
+  S_{xx}(\omega)&= X(\omega)X^*(\omega)		\\
+                &= |X(\omega)|^2
+\end{aligned}
+$$
+
+Størrelsen $S_{xy}(\omega)$ er den *kryssspektrale tettheten*.
+
+$$
+\begin{aligned}
+  r_{xy}[l]     &= x[l] * y[-l] 					\\
+                &\updownarrow \mathcal{F}	\\
+  S_{xy}(\omega)&= X(\omega)Y^*(\omega)
+\end{aligned}
+$$
+
+### Inngang-utgangs-korrelasjoner
+
+![Inngang-utgangs-korrelasjoner](figures/input-output-corr.png)
+
+#### I z-transformasjon
+
+$$
+\begin{gathered}
+  h[l]*h[-l]                  \\
+  \updownarrow\mathcal{Z}  \\
+  H(z)H(z^{-1})               \\ \\
+
+  r_{xy} = h[l]*r_{xx}[l]     \\
+  \updownarrow\mathcal{Z}  \\
+  H(z)S_{xx}(z)               \\ \\
+
+  r_{yy} = r_{hh}[l]*r_{xx}[l]\\
+  \updownarrow\mathcal{Z}  \\
+  H(z)H(z^{-1})S_{xx}(z)
+\end{gathered}
+$$
+
+#### Utgangs og kryssspektral tetthet
+
+$$
+\begin{aligned}
+  S_{yy}(\omega)  &= |H(\omega)|^2 S_{xx}(\omega) \\
+                  &= |H(\omega)|^2 |X(\omega)|^2  \\ \\
+
+  S_{yx}(\omega)  &= H(\omega)S_{xx}(\omega)
+\end{aligned}
+$$
+
+## Invers Z-transformasjon
+
+![Z-transformasjonen](figures/z-transform.png)
+
+Det enkleste for å gjøre en invers z-transformasjon er å delbrøkoppspalte likningen. 
+
+Vi kan skrive:
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+  x[n]  &= \sum_{k=1}^N R_k z^{-1} \\
+        &= \sum_{k=1}^N R_k p_k^n u[n]
+\end{aligned}
+$$
+
+Der $p_k$ er den $k$-ende polen, og $R_k$ er resydyren ved $p_k$.
+
+Dersom vi har komplekskonjugerte par, $p_k = p_i^\* $ er også residyrene komplekskonjugerte, $R_k = R_i^*$.
+
+For å delbrøkoppspalte, må vi gjøre følgende:
+1. Faktorisere nevnerpolynomet $A(z)$ for å finne alle poler $p_1, \ldots, p_N$.
+2. Deretter finne residyrene $R_1, \ldots, R_N$.
+
+Det første punktet er ganske greit, det er bare å faktorisere som vanlig, med komplekse tall.
+Det å finne residyrene er vanskeligere.
+
+Finnes to metoder for å finne poler og residyrer, løse lineære likninger, som ofte tar veldig lang tid. Selv om dette er en langvarig prosess, fungerer den alltid.
+
+Vi kan også bare gange begge sider med $1-p_k z^{-1}$.
+Da ender vi opp med å få $R_k$ alene uten noen faktorer med poler.
+
+Videre setter man $z=p_k$. Da vill alt annet enn $R_k$ forsvinne, og vi finner en verdi for $R_k$.
+
+En generell formel er som følger:
+
+$$ R_k = (1-p_k z^{-1})X(z)\Big|_{z=p_k} $$
+
+### Eksempel (regning)
+
+Vi skal delbrøkoppspalte:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  X(z)  &= \frac{1}{\left(1-\frac{1}{4}z^{-2}\right)} \\
+        &= \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2}z^{-1}\right)\left(1+\frac{1}{2}z^{-1}\right)}\\
+        &= \frac{R_1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{R_2}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}
+\end{aligned}
+$$
+
+Det er da veldig lett å løse residyrene ved bruk av formelen:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  R_1 &= \left(R_1 + \frac{R_2\left(1-\frac{1}{2}z^{-1}\right)}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}\right)\Bigg|_{z=\frac{1}{2}} \\
+      &= \frac{1}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}\bigg|_{z=\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\\ \\
+  R_2 &= \left(\frac{R_1\left(1+\frac{1}{2}z^{-1}\right)}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} + R_2\right)\Bigg|_{z=-\frac{1}{2}} \\
+      &= \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}\bigg|_{z=-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+### Eksempel 1 (MatLab)
+
+Skal finne impulsresponsen på:
+
+$$ H(z) = \frac{3 - 4z^{-1}}{1 - 3.5z^{-1} + 1.5z^{-2}} $$
+
+Dette kan løses i matlab med koden under.
+
+{% highlight matlab %}
+B = [3 -4];
+A = [1 -3.5 1.5];
+
+[R,P,C] = residuez(B,A);
+
+R % Residues
+P % Poles
+C % Direct terms (if improper)
+{% endhighlight %}
+
+### Eksempel 2 (MatLab)
+
+Dersom vi også ønsker å plotte frekvensresponsen til en annen funksjon:
+
+$$H(\omega) = \frac{1 - e^{-j2\omega}}{1 - 0.81e^{-j2\omega}}$$
+
+Så kan det løses i matlab med koden under:
+
+{% highlight matlab %}
+B = [1 0 -1];
+A = [1 0 -0.81];
+W = [0:1:500]*pi/500;
+H = freqz(B,A,W);
+
+magH = abs(H); phaH = angle(H);
+
+subplot(2,1,1); plot(W/pi,magH);
+xlabel('Frequency in pi units')
+ylabel('Magnitude')
+
+subplot(2,1,2); plot(W/pi,phaH);
+xlabel('Frequency in pi units')
+ylabel('Phase')
+{% endhighlight %}
+
+## Diskret Fouriertransformasjon (DFT)
+
+Litt som DTFT, men her sampler vi frekvensdomenet. Som videre kan rekonstrueres tilbake til en fullverdig kontinuerlig frekvensrespons.
+
+Denne kan effektiviseres med en algoritme kalt FFT (Rask fouriertransformasjon eller "FastFourierTransform").
+
+### Frekvenssampling
+
+Vi sampler frekvensene i intervallet $0\leq\omega<2\pi$, med $N$ likte mye mellom punktene.
+
+$$X(\omega_k) = X(\omega)|_{\omega = \omega_k} $$
+
+Der:
+
+$$ \omega_k = \frac{2\pi k}{N}, k = 0, \ldots, N-1 $$
+
+Siden DTFT av signalet er periodisk med $2\pi$, vet vi at DFT også er periodisk med $N$, $e^{-\frac{j2\pi}{N}n} = e^{-\frac{j2\pi}{N}(n+N)}$ 
+
+Dersom vi tar DTFT av en sekvens $x[n]$ evaluert i punktene $\omega_k$, får vi:
+
+$$X(\omega_k) = \sum_{n=0}^{N-1} x_p[n]e^{-\frac{j2\pi k}{N}n} $$
+
+Der den periodiske utvidelsen av $x[n]$, $x_p[n]$ er definert:
+
+$$ x_p[n] = \sum_{l=-\infty}^{\infty} x[n - lN] $$
+
+### Diskret-tid-fourierrekke
+
+$$
+\begin{gathered}
+  x_p[n] = \sum_{k=0}^{N-1}c_k e^{\frac{j2\pi k}{N}n}, n=0,\ldots,N-1 \\
+  c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x_p[n] e^{-\frac{j2\pi k}{N}n} = \frac{1}{N}X\left(\frac{2\pi k}{N}\right)
+\end{gathered}
+$$
+
+### Diskret Fouriertransformasjon (DFT)
+
+$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-\frac{j2\pi k}{N}n}, k=0,\ldots,N-1 $$
+
+### Invers Diskret Fouriertransformasjon (IDFT)
+
+$$x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi k}{N}n}, n=0,\ldots,N-1 $$
+
+### Egenskaper til DFT
+
+Ganske like som i DTFT
+
+* Periodisk
+* Lineær
+* Tidsreversering
+* Sirkulær tidsforskyvning
+* Sirkulær frekvensforskyvning
+* Konjugerte
+* Sirkulær konvolusjon
+* Multiplikasjon av to sekvenser
+* Pasevals teorem