Finish lecture 8

ntnu/ttt4120/summary/summary.md

@@ -109,11 +109,11 @@ Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
 Dersom en sinus-kurve skal være periodisk med en periode $N$, og siden vi vet at en diskret-tid sinus er periodisk med $2\pi$, har vi at:
 
 $$
-\begin{align*}
+\begin{aligned}
 	\cos(2\pi n) &= \cos(2\pi f (n+N)) \\
 	\Rightarrow 2\pi f N &= 2\pi k \\	
 	\Rightarrow f &= \frac{k}{N}
-\end{align*}
+\end{aligned}
 $$
 
 ### Kompleks-eksponensial
@@ -133,11 +133,11 @@ $$ x_a(t) = A\cos(\Omega t) = A\cos(2\pi F t) $$
 Da vil den diskrete sekvensen være:
 
 $$
-\begin{align*}
+\begin{aligned}
 	x[n] 	&= x_a(nT) \\
 				&= A\cos\left[2\pi\frac{F}{F_S}n\right] \\
 				&= A\cos\left[2\pi f n\right]
-\end{align*}
+\end{aligned}
 $$
 
 Der vi har $f=\frac{F}{F_S}$ eller $\omega = \Omega T$, som er den relative/normaliserte frekvensen (uavhengig av samlingfreksensen).
@@ -145,10 +145,10 @@ Der vi har $f=\frac{F}{F_S}$ eller $\omega = \Omega T$, som er den relative/norm
 Fra før vet vi at:
 
 $$ 
-\begin{align*}
+\begin{aligned}
 	-\frac{1}{2} < &f \leq \frac{1}{2} \\
 	-\frac{F_S}{2} < &f \leq \frac{F_S}{2}
-\end{align*}
+\end{aligned}
 $$
 
 
@@ -191,13 +191,13 @@ Da får vi at $y[n] = h[n]$.
 ### Konvulosjon
 
 $$
-\begin{align*}
+\begin{aligned}
 	y[n] 	&= \mathcal{H}\{x[n]\} \\
 				&= \mathcal{H}\left\{\sum_k x[k]\delta[n-k]\right\}\\
 				&= \sum_k x[k]\mathcal{H}\left\{\delta[n-k]\right\} \\
 				&= \sum_k x[k] h[n-k] \\
 				&= x[n] * h[n]
-\end{align*}
+\end{aligned}
 $$
 
 Det er mulig å gjøre konvulosjon både stegvis eller med en matrise. 
@@ -360,11 +360,11 @@ $$ nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} $$
 Rasjonell dersom transformasjonen kan bli representert som forholdet mellom to polynomer i $z^{-1}$ eller $z$.
 
 $$
-\begin{align*}
+\begin{aligned}
 	X(z) 	&= \frac{B(z)}{A(z)} \\
 				&= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots + b_M z^{-M} }{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots + a_N z^{-N}} \\
 				&= \frac{b_0}{a_0}\frac{\prod_{k=1}^M \left(1-z_k z^{-1}\right)}{\prod_{k=1}^N \left(1-p_k z^{-1}\right)}
-\end{align*}
+\end{aligned}
 $$
 
 
@@ -488,3 +488,98 @@ $$
 Et system kalles minimumfase dersom alle nuller og poler ligger innenfor enhetssirkelen.
 
 Et stabilt pol-null-system som er av typen minimum fase har en stabil invers som også er minimum fase.
+
+## Korrelasjon
+
+Korrelasjon er et mål på likhet. 
+
+### Krysskorrelasjon
+
+Dersom vi har en sekvens $x[n]$ og $y[n]$, vil kryssrelassjonen mellom disse to være:
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+	r_{xy}[l]	&= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]y[n-l] \\
+						&= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n + l]y[n] \\
+						&\phantom{=} \text{der } l = \pm 1, \pm 2, \ldots
+\end{aligned}
+$$
+
+Denne måler likheten mellom signalene $x[n]$ og $y[n]$.
+
+Denne er ikke "kommutativ", altså $r_{xy}[l] \neq r_{yx}[l]$. 
+
+Men følgende holder:
+
+$$r_{yx}[l] = r_{xy}[-l]$$
+
+### Autokorrelasjon
+
+Måler selvlikhet, $y[n] = x[n]$.
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+	r_{xx}[l]	&= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]x[n-l] \\
+						&= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n + l]x[n] \\
+						&\phantom{=} \text{der } l = \pm 1, \pm 2, \ldots
+\end{aligned}
+$$
+
+#### Egenskaper til autokorrelasjon
+
+Energi i sekvenser $x[n]$:
+
+$$ E_x = \sum_{n=-\infty}^\infty x^2[n] = r_{xx}[0] \geq 0 $$
+
+Autokorrelasjonen har maksimum lag $l=0$:
+
+$$ |r_{xx}[l]| \leq r_{xx}[0] = E_x $$
+
+Autokorrelasjon er en lik funksjon:
+
+$$
+\begin{aligned}
+	r_{xy}[l]	&= r_{yx}[-l]	\\
+						&\Downarrow		\\
+	r_{xx}[l]	&= r_{xx}[-l]
+\end{aligned}
+$$
+
+Normaliserte versjoner:
+
+$$
+\begin{aligned}
+	\varrho_{xx}[l]		&= \frac{r_{xx}[l]}{r_{xx}[0]} 	\\
+										&\Downarrow 										\\
+	|\varrho_{xx}[l]| &\leq 1													\\ \\
+	\varrho_{xy}[l]		&= \frac{r_{xy}[l]}{\sqrt{r_{xx}[0]r_{yy}[0]}}\\
+										&\Downarrow 																	\\
+	|\varrho_{xy}[l]| &\leq 1
+\end{aligned}
+$$
+
+### Spektral tetthet (Energi)
+
+Størrelsen $S_{xx}(\omega)\geq 0$ er den *spektrale tettheten* til $x[n]$.
+
+For å finne denne størrelsen, gjør vi en Fourier-transformasjon av autokorrelasjonen $r_{xx}[n]$:
+
+$$
+\begin{aligned}
+	r_{xx}[l] 		&= x[l] * x[-l] 					\\
+								&\updownarrow \mathcal{F}	\\
+	S_{xx}(\omega)&= X(\omega)X^*(\omega)		\\
+								&= |X(\omega)|^2
+\end{aligned}
+$$
+
+Størrelsen $S_{xy}(\omega)$ er den *kryssspektrale tettheten*.
+
+$$
+\begin{aligned}
+	r_{xy}[l] 		&= x[l] * y[-l] 					\\
+								&\updownarrow \mathcal{F}	\\
+	S_{xy}(\omega)&= X(\omega)Y^*(\omega)
+\end{aligned}
+$$
+