Første forelesning i TFE4130

ntnu/21v/tfe4130/lectures/2021-01-12/2021-01-12.md

@@ -1,5 +1,74 @@
 ---
-title: "TFE4130 - Intro"
+title: "TFE4130 - 1D Bølger"
 description: "2021-01-12"
 math: true
----
+---
+
+## Hva er bølger?
+
+Bevegelse av partikler i et medium.
+
+Dispersive gjør at signalet kan endre seg over tid og strekning.
+Bølgehastigheten er avhengig av frekvensen.
+
+Ikke-dispersive betyr at bølgen beveger seg med samme hastighet hele tiden, og vil derfor være lik ved alle distanser.
+
+Bølger kan inteferere.
+
+Kurset handler mest om EM-bølger, men mekaniske bølger er enklere.
+Det er da kun trykk som beskriver en bølge, mot en vektor med flere komponenter i EM-bølger.
+
+Velocity potential:
+
+$$WIP$$
+
+Velocities at depth:
+
+$$WIP$$
+
+Dispersjonsrelasjonen i havbølger
+
+$$ \omega^2 = gk \tanh kd $$
+
+Der $g$ er tyngdeakserelasjonen, $k$ er bølgetallet og $d$ er dybden.
+
+### Forskjellige typer bølger
+
+Longitudinale: Langsgående bølger.
+
+Transversale: Bølger som beveger seg normalt på propageringsretningen.
+
+### Matematisk
+
+Bølgene er løsningen på bølgelikningen i forskjellige dimensjoner.
+
+$$ \ddot{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$
+
+Denne løses som en partiell differensiallikning.
+
+En ikke-dispersiv hamonisk bølge er definert:
+
+$$ p(x, t) = \hat{p} \sin(\omega t - kx) $$
+
+Der $\omega = 2\pi f$ er frekvensen, $k = \tfrac{\omega}{c}$ er bølgekonstanten, $c$ er propageringshastigheten og $\hat{p}$ er bølgeamplituden.
+
+## Lydbølger
+
+Lydbølger er endringer i lydtrykket rundt standardtrykket/det statiske trykket. 
+
+$$ \underbrace{P_\text{total}(x,t)}_{\text{Lufttrykk, [Pa]}} = \underbrace{P_\text{atm}}_\text{Statisk trykk} + \underbrace{p(x,t)}_\text{endringer i trykket, lyd} $$
+
+
+Bølgelikningen for lydbølger:
+
+$$ \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} $$
+
+## Helmholtz' likning
+
+Spesialtilfelle av bølgelikningen når bølgen er en harmonisk svingning.
+
+$$ p(x,t) = p(x) e^{j\omega t} $$
+
+Den tidsavhengige faktoren kan faktoriseres ut av likningen og vi står igjen med en ODE.
+
+$$ \frac{\partial^2 p(x)}{\partial x^2} + k^2 p(x) = 0 $$