Added a lot of picures and a lot of theory

ntnu/tfe4146/summary/summary.md

@@ -3,6 +3,7 @@ title: "Oppsumering av TFE4146"
 description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
 math: true
 date: 2020-11-20
+toc: true
 ---
 
 {% include utilities/toc.html %}
@@ -39,7 +40,12 @@ $$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
 #### Schrödingers likning
 
 
-$$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$
+$$ 
+\begin{align*}
+    - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} &+ V(x)\Psi(x,t) \\
+    & = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
+\end{align*}
+$$
 
 ##### Løsninger
 
@@ -139,9 +145,9 @@ $$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N
 
 Som forkortet, og på samme måte for $p_0$
 
-$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
+$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \quad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
 
-$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
+$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \quad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
 
 #### Noen resultater
 
@@ -258,10 +264,12 @@ $$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$
 
 Som gir:
 
-\begin{align\*}
-    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\\\\
+$$
+\begin{align*}
+    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\
     E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right)
-\end{align\*}
+\end{align*}
+$$
 
 Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$.
 Dermed får vi Einsteinrelasjonen:
@@ -320,7 +328,11 @@ Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en
 ![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png)
 
 
-## PN-overganger
+## P-N-overganger
+
+### Bakgrunn
+
+![PN biter](figures/pnNatural.png)
 
 Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale.
 Dermed ved termisk likevekt er følgende sant.
@@ -330,3 +342,244 @@ $$ \frac{d E_F}{ d x} = 0 $$
 $$ n_n \gg n_p $$
 
 $$ p_p \gg p_n $$
+
+Når bitene med dopet silisium blir satt sammen, vil det settes opp et overgangsområde.
+
+![PN satt sammen](figures/pnSammen.png)
+
+![PN tegning](figures/pnTegning.png)
+
+For å analysere dette, gjøres det noen forenklinger
+
+1. Stegovergang, skarp p-n-overgang
+2. 1D analyse av ladningstransport
+3. E-feltet er satt til 0 utenfor overgangsområdet
+4. Deplesjonstilnærming
+
+![PN ladning](figures/pn-ladning.png)
+
+![PN E-felt](figures/pn-efelt.png)
+
+### Noen viktige prinsipper
+
+#### Gauss' lov
+
+$$ \frac{d E(x)}{dx} = \frac{q}{\epsilon}\cdot [p(x) - n(x) + N_d^+ - N_a^-] $$
+
+#### Deplesjonstilnærming
+
+$$
+\begin{align*}
+    p(x) = n(x) &= 0 \quad \text{innenfor }W \\
+    \rho(x)     &= 0 \quad \text{utnfor }W  
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\begin{align*} 
+    \frac{d E(x)}{dx} &=  \phantom{-}\frac{q}{\epsilon}N_d^+ \quad \text{for } 0 < x < x_{n0} \\
+    \frac{d E(x)}{dx} &=  -\frac{q}{\epsilon}N_a^- \quad \text{for } -x_{p0} < x < 0
+\end{align*} 
+$$
+
+### Bredden av deplesjonsområdet
+
+Ved å sette sammen deplesjnstilnærmingen og Guass' sammen får vi et uttrykk for spenningen og bredden på deplesjonsområdet.
+
+$$ V_0 = \frac{1}{2}E_0 W $$
+
+Der $E_0 = N_d x_{n0} = N_a x_{p0}$.
+
+Som igjen gir
+
+$$ V_0 = \frac{1}{2}\frac{q}{\epsilon}\frac{N_a N_d}{N_a + N_d} W^2 $$
+ 
+Som vi løser for $W$ og får,
+
+$$ W = \sqrt{\frac{2\epsilon V_0}{q} \cdot \left(\frac{1}{N_a}+ \frac{1}{N_d}\right)} $$
+
+
+### Forspent overgang
+
+> Positiv forspenning er definert som å koble positiv terminal til p-siden og - til n-siden.
+> Negativ forspenning er det motsatte.
+
+Forspenningen vil ha alt spenningsfallet over deplesjonsområdet $W$. 
+Med andre ord vil E-feltet endre størrelse med forspenningen.
+Desto større negativ forspenning, desto større E-felt (opp til et visst punkt).
+For positive forspenninger vil vi minke E-feltet med økt positiv forspenning.
+
+![Forspent p-n-overgang](figures/biasPN.png)
+
+### Kvalitativ analyse
+
+![Steady State p-n-overgang](figures/steadyStatePN.png)
+
+![Steady State p-n-overgang](figures/pnSteady.png)
+
+Vi kan nå evaluere hullstrømmen.
+
+$$ I_p(x_n) = -qAD_p \frac{d \delta p(x_n)}{d x_n} = qA\frac{D_p}{L_p} \delta p(x_n) $$
+
+Der strømmen inn i deplesjonsområdet er gitt ved
+
+$$ 
+\begin{align*}
+    I_p(x_n = 0)    &= qA\frac{D_p}{L_p}\Delta p_n \\
+                    &= qA\frac{D_p}{L_p} p_n \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] 
+\end{align*}
+$$
+
+For elektroner, er det et minustegn foran, som skifter retningen, men ellers helt lik.
+
+$$ 
+\begin{align*}
+    I_n(x_p = 0)    &= -qA\frac{D_n}{L_n}\Delta n_p \\
+                    &= -qA\frac{D_n}{L_n} n_p \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] 
+\end{align*}
+$$
+
+Videre bruker vi enda en forenkling:
+
+**S6** All strømmen som sendes inn i deplesjonsområdet vil ende opp på andre siden.
+
+$$
+\begin{align*}
+    I_p(x_p = 0)&= I_p(x_n = 0) \\ 
+    I_n(x_p = 0)&= I_n(x_n = 0)
+\end{align*}
+$$
+
+Dette gir oss en total strøm:
+
+$$ I = I_p (x_n = 0) + \left(-I_n(x_p = 0)\right) $$ 
+ 
+Setter alt sammen og får "diodelikningen":
+
+$$ I = qA\left[ \frac{D_p}{L_p}p_{n0} + \frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right] \cdot \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] $$
+
+Dersom vi setter $I_0\equiv\left[ \frac{D_p}{L_p}p_{n0} + \frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right]$, kan vi skrive:
+
+$$ I = I_0 \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right]  $$
+
+#### Alternativ måte å løse denne på
+
+Den baserer seg på at det finnes ladninger på hver side av deplesjonsområdet.
+Det er da mulig å integrere over ladningene og se på gradienten ved $x_p = x_n = 0$.
+
+![Alternativ måte å løse likningen på](figures/alternateDiodeEq.png)
+
+### Sammenbruddsdioder
+
+Dersom man reversforspenner (negativ forspenning) så vil situasjonen der dioden får et sammenbrudd skje.
+Sammenbruddet er kun elektronisk og ikke skadelig for dioden, med mindre man setter på veldig mye negativ forspenning.
+
+![Sammenbrudd](figures/breakdown.png)
+
+
+#### *Zener*sammenbrudd
+
+Et Zenersammenbrudd baserer seg på kvantetunnelering mellom energibåndene i dioden. 
+Elektronene kan da "hoppe" fra valensbåndet til ledningsbåndet.
+
+![Zener](figures/zener.png)
+
+#### Avalanche Breakdown (Skredsammenbrudd?)
+
+Baserer seg på at ved et stort E-felt i sperreretning vil elektroner få stor hastighet. 
+Når elektronene treffer et atom el. vil den kunne "sparke løs" et annet elektron-hull-par.
+Dette medfører at det nå er to elektroner i ene retningen og to hull i andre retningen. 
+
+![Avalanche Breakdown](figures/avalanche.png)
+
+
+### Transienter i en p-n-overgang
+
+#### Stegtransient
+
+Vi vil se på tilfellet der vi skrur av strømmen abrupt ved $t=0$.
+
+Kommer tilbake til dette...
+
+
+### Forskjellige typer p-n-overganger
+
+Også sees på senere
+
+## Felt Effekt Transistorer (FET)
+
+### Historie
+
+* **1915** - Første radiorør
+* **1926** - Patent på en CuS FET
+* **1934** - Design av en FET
+* **1947** - Den første transistoren ble laget
+* **1954** - Første transistor i Si
+* **1959** - Første IC
+* **1960** - Første MOSFET
+* **1971** - Intel kom med første komersielle mikroprosessor, Intel 4004
+
+### Forskjellige typer FET
+
+#### JFET
+
+JFET (Junction Field Effect Transistor), fungerer ved å styre/modulere bredden på deplesjonsområdet på en revers forspent p-n-overgang, ved hjelp av en påsatt spenning $V_G$.
+Dette medfører at vi kan kontrollere strømmen mellom kilde (source) og brønn (drain) kontaktene.
+
+![JFET](figures/JFET.png)
+
+#### MESFET
+
+Fungerer på samme måte som en JFET, men styrer bredden på deplesjonsområdet i en Schottky diode.
+Dette er derfor en Metall-Silisium overgang (M-S overgang).
+
+![MESFET](figures/MESFET.png)
+
+#### MOSFET
+
+Dette er den mest brukte transistoren i dag.
+Her er gate-kontakten elektrisk separert fra resten av transistoren med et isolerende lag.
+Transistoren fungerer da ved å sette opp mellom gate og substratet i transistoren for å lage en elektrisk ledene kanal mellom kilde og brønnkontaktene.
+Det er derfor den har navnet MOSFET, Metal-Oksid-Silikon Felt Effekt Transistor (Metal-Oxide-Silicon Field Effect Transistor).
+
+![MOSFET](figures/MOSFET.png)
+
+
+### Fordeler med FET over BJT
+
+* Høy inngangsimpedanse.
+  * I JFET er det pga. en revers forspend p-n-overgang.
+  * I MESFET er det pga. en revers forspent m-s-overgang.
+  * I MOSFET er det pga. en isolator mellom gate og resten av transistoren.
+* Veldig god som en bryter for å styre mellom en ledende tilstand og en ikke ledende tilstand.
+* Negativ temperaturkoeffisient ved store strømmer, som gjør den veldig stabil.
+* Har ingen lagring av minoritetsladningsbærere, som fører til ingen uønsket kapasitanse.
+* Har høyere endringshastighet (switching speed) enn en vanlig BJT.
+
+
+### Virkemåte til en transistor
+
+En transistor har i prinsippet to funksjoner:
+
+1. Forsterkning av små AC-signaler.
+2. Som en bryter, for å styre en strøm.
+
+![Virkemåte Transistor](figures/virkemåteTransistor.png)
+
+#### I-V-kurve
+
+Strømmen til en transistor kan beskrives med spenningen over transistoren.
+
+$$ i_D = f(v_D)$$
+
+Der lastlinjen er definert som
+
+$$ i_D = \frac{E}{R} - \frac{v_D}{R} $$
+
+For en komponent med to terminaler vil vi kun ha disse likningene, men for en komponent med tre poler kan vi også styre hvordan $f(v_D)$ fungerer ved hjelp av $v_G$.
+
+### JFET
+
+
+
+