diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/JEFT_Zoom.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/JEFT_Zoom.png new file mode 100644 index 0000000..3b958ef Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/JEFT_Zoom.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/JFET.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/JFET.png new file mode 100644 index 0000000..3d45614 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/JFET.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/JFET_Analysis.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/JFET_Analysis.png new file mode 100644 index 0000000..f14ae8c Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/JFET_Analysis.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/MESFET.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/MESFET.png new file mode 100644 index 0000000..7b8491c Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/MESFET.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/MOSFET.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/MOSFET.png new file mode 100644 index 0000000..a4b1567 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/MOSFET.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/alternateDiodeEq.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/alternateDiodeEq.png new file mode 100644 index 0000000..ce64f28 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/alternateDiodeEq.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/avalanche.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/avalanche.png new file mode 100644 index 0000000..420f369 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/avalanche.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/biasPN.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/biasPN.png new file mode 100644 index 0000000..86c26d2 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/biasPN.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/breakdown.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/breakdown.png new file mode 100644 index 0000000..99c3b95 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/breakdown.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/pn-efelt.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pn-efelt.png new file mode 100644 index 0000000..3a2f111 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pn-efelt.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/pn-ladning.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pn-ladning.png new file mode 100644 index 0000000..db927d4 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pn-ladning.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnSammen.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnSammen.png new file mode 100644 index 0000000..716f8cd Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnSammen.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnSteady.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnSteady.png new file mode 100644 index 0000000..c072af5 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnSteady.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnTegning.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnTegning.png new file mode 100644 index 0000000..281ed2b Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/pnTegning.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/steadyStatePN.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/steadyStatePN.png new file mode 100644 index 0000000..d1ca8ee Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/steadyStatePN.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/virkemåteTransistor.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/virkemåteTransistor.png new file mode 100644 index 0000000..db99c44 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/virkemåteTransistor.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/figures/zener.png b/ntnu/tfe4146/summary/figures/zener.png new file mode 100644 index 0000000..96ff9c0 Binary files /dev/null and b/ntnu/tfe4146/summary/figures/zener.png differ diff --git a/ntnu/tfe4146/summary/summary.md b/ntnu/tfe4146/summary/summary.md index 11e067b..43a4390 100644 --- a/ntnu/tfe4146/summary/summary.md +++ b/ntnu/tfe4146/summary/summary.md @@ -3,6 +3,7 @@ title: "Oppsumering av TFE4146" description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020. math: true date: 2020-11-20 +toc: true --- {% include utilities/toc.html %} @@ -39,7 +40,12 @@ $$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$ #### Schrödingers likning -$$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$ +$$ +\begin{align*} + - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} &+ V(x)\Psi(x,t) \\ + & = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} +\end{align*} +$$ ##### Løsninger @@ -139,9 +145,9 @@ $$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N Som forkortet, og på samme måte for $p_0$ -$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$ +$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \quad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$ -$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$ +$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \quad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$ #### Noen resultater @@ -258,10 +264,12 @@ $$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$ Som gir: -\begin{align\*} - E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\\\\ +$$ +\begin{align*} + E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\ E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right) -\end{align\*} +\end{align*} +$$ Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$. Dermed får vi Einsteinrelasjonen: @@ -320,7 +328,11 @@ Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en ![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png) -## PN-overganger +## P-N-overganger + +### Bakgrunn + +![PN biter](figures/pnNatural.png) Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale. Dermed ved termisk likevekt er følgende sant. @@ -329,4 +341,245 @@ $$ \frac{d E_F}{ d x} = 0 $$ $$ n_n \gg n_p $$ -$$ p_p \gg p_n $$ \ No newline at end of file +$$ p_p \gg p_n $$ + +Når bitene med dopet silisium blir satt sammen, vil det settes opp et overgangsområde. + +![PN satt sammen](figures/pnSammen.png) + +![PN tegning](figures/pnTegning.png) + +For å analysere dette, gjøres det noen forenklinger + +1. Stegovergang, skarp p-n-overgang +2. 1D analyse av ladningstransport +3. E-feltet er satt til 0 utenfor overgangsområdet +4. Deplesjonstilnærming + +![PN ladning](figures/pn-ladning.png) + +![PN E-felt](figures/pn-efelt.png) + +### Noen viktige prinsipper + +#### Gauss' lov + +$$ \frac{d E(x)}{dx} = \frac{q}{\epsilon}\cdot [p(x) - n(x) + N_d^+ - N_a^-] $$ + +#### Deplesjonstilnærming + +$$ +\begin{align*} + p(x) = n(x) &= 0 \quad \text{innenfor }W \\ + \rho(x) &= 0 \quad \text{utnfor }W +\end{align*} +$$ + +$$ +\begin{align*} + \frac{d E(x)}{dx} &= \phantom{-}\frac{q}{\epsilon}N_d^+ \quad \text{for } 0 < x < x_{n0} \\ + \frac{d E(x)}{dx} &= -\frac{q}{\epsilon}N_a^- \quad \text{for } -x_{p0} < x < 0 +\end{align*}  +$$ + +### Bredden av deplesjonsområdet + +Ved å sette sammen deplesjnstilnærmingen og Guass' sammen får vi et uttrykk for spenningen og bredden på deplesjonsområdet. + +$$ V_0 = \frac{1}{2}E_0 W $$ + +Der $E_0 = N_d x_{n0} = N_a x_{p0}$. + +Som igjen gir + +$$ V_0 = \frac{1}{2}\frac{q}{\epsilon}\frac{N_a N_d}{N_a + N_d} W^2 $$ + +Som vi løser for $W$ og får, + +$$ W = \sqrt{\frac{2\epsilon V_0}{q} \cdot \left(\frac{1}{N_a}+ \frac{1}{N_d}\right)} $$ + + +### Forspent overgang + +> Positiv forspenning er definert som å koble positiv terminal til p-siden og - til n-siden. +> Negativ forspenning er det motsatte. + +Forspenningen vil ha alt spenningsfallet over deplesjonsområdet $W$. +Med andre ord vil E-feltet endre størrelse med forspenningen. +Desto større negativ forspenning, desto større E-felt (opp til et visst punkt). +For positive forspenninger vil vi minke E-feltet med økt positiv forspenning. + +![Forspent p-n-overgang](figures/biasPN.png) + +### Kvalitativ analyse + +![Steady State p-n-overgang](figures/steadyStatePN.png) + +![Steady State p-n-overgang](figures/pnSteady.png) + +Vi kan nå evaluere hullstrømmen. + +$$ I_p(x_n) = -qAD_p \frac{d \delta p(x_n)}{d x_n} = qA\frac{D_p}{L_p} \delta p(x_n) $$ + +Der strømmen inn i deplesjonsområdet er gitt ved + +$$ +\begin{align*} + I_p(x_n = 0) &= qA\frac{D_p}{L_p}\Delta p_n \\ + &= qA\frac{D_p}{L_p} p_n \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] +\end{align*} +$$ + +For elektroner, er det et minustegn foran, som skifter retningen, men ellers helt lik. + +$$ +\begin{align*} + I_n(x_p = 0) &= -qA\frac{D_n}{L_n}\Delta n_p \\ + &= -qA\frac{D_n}{L_n} n_p \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] +\end{align*} +$$ + +Videre bruker vi enda en forenkling: + +**S6** All strømmen som sendes inn i deplesjonsområdet vil ende opp på andre siden. + +$$ +\begin{align*} + I_p(x_p = 0)&= I_p(x_n = 0) \\ + I_n(x_p = 0)&= I_n(x_n = 0) +\end{align*} +$$ + +Dette gir oss en total strøm: + +$$ I = I_p (x_n = 0) + \left(-I_n(x_p = 0)\right) $$ + +Setter alt sammen og får "diodelikningen": + +$$ I = qA\left[ \frac{D_p}{L_p}p_{n0} + \frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right] \cdot \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] $$ + +Dersom vi setter $I_0\equiv\left[ \frac{D_p}{L_p}p_{n0} + \frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right]$, kan vi skrive: + +$$ I = I_0 \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right]  $$ + +#### Alternativ måte å løse denne på + +Den baserer seg på at det finnes ladninger på hver side av deplesjonsområdet. +Det er da mulig å integrere over ladningene og se på gradienten ved $x_p = x_n = 0$. + +![Alternativ måte å løse likningen på](figures/alternateDiodeEq.png) + +### Sammenbruddsdioder + +Dersom man reversforspenner (negativ forspenning) så vil situasjonen der dioden får et sammenbrudd skje. +Sammenbruddet er kun elektronisk og ikke skadelig for dioden, med mindre man setter på veldig mye negativ forspenning. + +![Sammenbrudd](figures/breakdown.png) + + +#### *Zener*sammenbrudd + +Et Zenersammenbrudd baserer seg på kvantetunnelering mellom energibåndene i dioden. +Elektronene kan da "hoppe" fra valensbåndet til ledningsbåndet. + +![Zener](figures/zener.png) + +#### Avalanche Breakdown (Skredsammenbrudd?) + +Baserer seg på at ved et stort E-felt i sperreretning vil elektroner få stor hastighet. +Når elektronene treffer et atom el. vil den kunne "sparke løs" et annet elektron-hull-par. +Dette medfører at det nå er to elektroner i ene retningen og to hull i andre retningen. + +![Avalanche Breakdown](figures/avalanche.png) + + +### Transienter i en p-n-overgang + +#### Stegtransient + +Vi vil se på tilfellet der vi skrur av strømmen abrupt ved $t=0$. + +Kommer tilbake til dette... + + +### Forskjellige typer p-n-overganger + +Også sees på senere + +## Felt Effekt Transistorer (FET) + +### Historie + +* **1915** - Første radiorør +* **1926** - Patent på en CuS FET +* **1934** - Design av en FET +* **1947** - Den første transistoren ble laget +* **1954** - Første transistor i Si +* **1959** - Første IC +* **1960** - Første MOSFET +* **1971** - Intel kom med første komersielle mikroprosessor, Intel 4004 + +### Forskjellige typer FET + +#### JFET + +JFET (Junction Field Effect Transistor), fungerer ved å styre/modulere bredden på deplesjonsområdet på en revers forspent p-n-overgang, ved hjelp av en påsatt spenning $V_G$. +Dette medfører at vi kan kontrollere strømmen mellom kilde (source) og brønn (drain) kontaktene. + +![JFET](figures/JFET.png) + +#### MESFET + +Fungerer på samme måte som en JFET, men styrer bredden på deplesjonsområdet i en Schottky diode. +Dette er derfor en Metall-Silisium overgang (M-S overgang). + +![MESFET](figures/MESFET.png) + +#### MOSFET + +Dette er den mest brukte transistoren i dag. +Her er gate-kontakten elektrisk separert fra resten av transistoren med et isolerende lag. +Transistoren fungerer da ved å sette opp mellom gate og substratet i transistoren for å lage en elektrisk ledene kanal mellom kilde og brønnkontaktene. +Det er derfor den har navnet MOSFET, Metal-Oksid-Silikon Felt Effekt Transistor (Metal-Oxide-Silicon Field Effect Transistor). + +![MOSFET](figures/MOSFET.png) + + +### Fordeler med FET over BJT + +* Høy inngangsimpedanse. + * I JFET er det pga. en revers forspend p-n-overgang. + * I MESFET er det pga. en revers forspent m-s-overgang. + * I MOSFET er det pga. en isolator mellom gate og resten av transistoren. +* Veldig god som en bryter for å styre mellom en ledende tilstand og en ikke ledende tilstand. +* Negativ temperaturkoeffisient ved store strømmer, som gjør den veldig stabil. +* Har ingen lagring av minoritetsladningsbærere, som fører til ingen uønsket kapasitanse. +* Har høyere endringshastighet (switching speed) enn en vanlig BJT. + + +### Virkemåte til en transistor + +En transistor har i prinsippet to funksjoner: + +1. Forsterkning av små AC-signaler. +2. Som en bryter, for å styre en strøm. + +![Virkemåte Transistor](figures/virkemåteTransistor.png) + +#### I-V-kurve + +Strømmen til en transistor kan beskrives med spenningen over transistoren. + +$$ i_D = f(v_D)$$ + +Der lastlinjen er definert som + +$$ i_D = \frac{E}{R} - \frac{v_D}{R} $$ + +For en komponent med to terminaler vil vi kun ha disse likningene, men for en komponent med tre poler kan vi også styre hvordan $f(v_D)$ fungerer ved hjelp av $v_G$. + +### JFET + + + +