Det er mulig å gjøre konvulosjon både stegvis eller med en matrise.
Matrisen er bare å lage en "gangetabell med verdiene i sekvensene, gange sammen og summere anti-diagonalene.
Dersom lengden av sekvensen $x[n]$ er $N_x$ og lengden av $h[n]$ er $N_h$, vil lengden av konvulosjonen være:
$$ N_y = N_x + N_h - 1 $$
### Lengde av systemer
Det finnes to typer lengde på impulsresponsen. IIR og FIR.
#### IIR
"Infinite(-duration) impulse response", er et system der lengden av impulsresponsen er uendelig i lengde. Typisk er utgangen avhengig av forrige resultat.
#### FIR
"Finite(-duration) impulse response", er et system der impulsresponsen har en endelig lengde.
Dersom vi har et system som vist over, sender inn en sekvens $x[n]$eller $X(z)$ og observerer utgangen $y[n]$ eller $Y(z)$, kan vi finne systemfunksjonen.
$$h[n] = \frac{y[n]}{x[n]}$$
$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} $$
Vi kan bruke transformasjonen til å gå mellom dem.
Begge er helt ekvivalente.
#### Kausalitet og stabilitet
For at et system skal være kausalt, må ROC være alt utenfor en sirkel.
For at et system skal være BIBO stabilt, må enhetssirkelen $z = e^{-j\omega}$ være med i ROC.
Det er mulig å bestemme om et system er kausal og stabilt ved å velge ROC.
ROC må heller ikke inneholde noen poler.
#### Frekvensrespons
For å finne frekvensresponsen til et system, "går" man langs enhetsirkelen, fra $-\pi$ til $\pi$.
##### Utregning
Dersom vi har frekvensresponsen til et system:
$$ H_1(z) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} $$
Matlabløsningen er som under
{% highlight matlab %}
B = 1;
A = [1 -0.5];
figure(1)
zplane(B,A)
figure(2)
[H,W]=freqz(B,A);
plot(W/pi,abs(H));
{%endhighlight%}
## Filteregenskaper
Frekvensresponsen til et system bestemmer hvordan type system det er.
* Båndpass
* Slipper gjennom visse frekvenser
* Båndstopp
* Stopper visse frekvenser
* Lavpass
* Slipper gjennom lave frekvenser
* Høypass
* Slipper gjennom høye frekvenser
### Lavpass
I et lavpassfilter ønsker vi å putte polene nærme(re) $z=1$, og nuller nærme(re) $z=-1$.
Dersom vi ser på et pol-null-plot ser vi at frekvensen er $0$ ved $z=1$, og poler forsterker et signal når vi er "nærme" det (ref tilbake til hvordan finne frevensresponsen til en z-transformasjon).
### Høypass
I et høypassfilter ønsker vi det motsatte av et lavpassfilter. Vi ønsker å putte så mange nuller nærheten av $z=1$, og så mange poler i nærheten av $z=-1$.
Dette er av samme grunn som for et lavpass.
### "Notch"-filter
Kan isolere seg rundt en veldig spesifik frekvens og fjerne den.
For å oppnå dette, så kan man putte noen nuller på enhetssirkelen og noen poler i nærheten av nullene. Da får vi veldig smale bånd.
### Kamfilter
Litt som et omvendt "notch"-filter. Det er periodiske nuller langs enhetssirkelen. Ender opp med noe som ligner på en kam.
### Allpassfilter
Dette filteret har en amplituderespons på $1$. Men den kan endre fasen på signalet ved gitte frekvenser.
### Lineær-fase-filtere
Dette er ønskelig, fordi da får vi kun en tidsforsinkning i utgangssignalet i båndpass.
Altså dersom vi har en null i en vinkel, og avstand fra enhetssirkelen. Da vil den resiproke nullen være i samme vinkel, men samme avstand fra enhetssirkelen, bare på andre siden av sirkelen.
## Inverse- og minimumsfase-systemer
Dersom et system $\mathcal{T}$ er inverterbart, kan vi finne inngangssignalet dersom vi har utgangsignalet og den inverterbare systemgfunksjonen.
