111 lines
2.1 KiB
Markdown
111 lines
2.1 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: "Oppsumering av TTT4120"
|
|||
|
|
description: "En liten oppsummering og formler i TTT4120, høsten 2020."
|
|||
|
|
date: 2020-12-06
|
|||
|
|
math: true
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Diskret tid
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Denne typen signaler baserer seg på at de kan representeres av en sekvens med tall.
|
|||
|
|
Sekvensen kan representere amplituden til et signal, ved tidspunkt $n$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ x[n] = \{\ldots, x[-1], \underline{x[0]}, x[1], \ldots\} $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Der verdien med strek under er målingen ved $n=0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Sampling
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Signalene kan lages ved å *sample* et analogt signal.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ x[n] \stackrel{_\Delta}{=} x_a(nT)$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Der tiden mellom samples er gitt ved $T = \frac{1}{F_S}$, der samplings-frekvensen (samples per sekund) er $F_S$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$T$ trenger ikke å være tid, men f.eks. posisjonen på en stang.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Diskret-tid operasjoner
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Skalering, addering, og multiplikasjon:**
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\begin{gather*}
|
|||
|
|
y[n] = ax[n] \\
|
|||
|
|
y[n] = x_1[n] + x_2[n] \\
|
|||
|
|
y[n] = x_1[n]x_2[n]
|
|||
|
|
\end{gather*}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Tidsforskyvninger og folding**
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\begin{gather*}
|
|||
|
|
y[n] = x[n-k] \\
|
|||
|
|
y[n] = -x[n]
|
|||
|
|
\end{gather*}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Tidsforskyvninger sammen med folding**
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ y[n] = x[-n+k] $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Egenskaper til Diskret tid
|
|||
|
|
|
|||
|
|
En sekvens $x[n]$ er **kausal** dersom:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ x[n] = 0, n<0 $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
En sekvens $x[n]$ er **periodisk** med en periode $N$ dersom:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ x[n+N] = x[n], \forall n $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Klassifikasjoner til Diskret tid
|
|||
|
|
|
|||
|
|
En sekvens $x[n]$ er **bundet** dersom:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ |x[n]| \leq B_x \leq \infty $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
En sekvens $x[n]$ er **Absolutt summerbar** dersom:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ \sum_{n=-\infty}^\infty |x[n]| < \infty $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
En sekvens $x[n]$ er **Kvadratisk-summerbar** dersom energien:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ E_x = \sum_{n=-\infty}^\infty |x[n]|^2 < \infty $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Dette signalet er et **energisignal**, ikke alle sekvenser er energisignaler. Periodiske er ikke.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Den gjennomsnittlige effekten til en sekvens, er derfinert:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ P_x = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2N + 1}\sum_{n=-N}^N |x[n]|^2 $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Viktige typer sekvenser
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Enhetspulsen (Delta-puls)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ \delta[n-k] =
|
|||
|
|
\begin{cases}
|
|||
|
|
1 & n=k \\
|
|||
|
|
0 & n\neq k
|
|||
|
|
\end{cases} $$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Enhetssteg
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ u[n-k] =
|
|||
|
|
\begin{cases}
|
|||
|
|
1 & n\geq k \\
|
|||
|
|
0 & n < k
|
|||
|
|
\end{cases}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|