glados.no/courses/tfe4146/summary/summary.md

325 lines
8.7 KiB
Markdown
Raw Normal View History

2020-11-21 14:04:51 +01:00
---
layout: lecture
title: "Oppsumering av TFE4146"
description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
math: true
permalink: /:path
date: 2020-11-20
---
{% include toc.html %}
# Grunnleggende om halvledere
## Historie
* **1830** - Mekanisk
* **1944** - Elektromekanisk
* **1946** - Releer og radiorør
* **1948** - Transistor
* **1958** - Første IC
* **1971** - Første mikroprosessor
* **2020** - Der i er i dag med nanoelektronikk
Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal.
Skal dobles hver 18-24 måneder.
## Halvledere
![Oversikt over halvledere, metaller og isolatorer](./figures/conductivity.png)
## Atomer og elektroner
### Uskarphetsrelasjonen
$$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
### Paulti prinsippet
> To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.
### Schrödingers likning
$$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$
#### Løsninger
$$ \psi(x) = Ae^{\pm ikx} \quad E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$
Partikkel i en "boks".
![Partikkel i en boks](figures/particleBox.png)
![Tette bånd](figures/tetteBonds.png)
## Effektiv masse
$$ m^* = \frac{\hbar ^2}{\frac{d^2 E}{d k^2}} $$
Ser på krumningen til energien i k-rommet.
Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.
## Intrisisk materiale
Inneholder bare en type materiale.
$$ n = p = n_i $$
Der $n$ er tettheten av frie elektroner i lednignsbånd (CB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
$p$ er tettheten av hull i valensbåndet (VB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
Og $n_i$ er den intrisiske elektrontettheten, målt i $\text{cm}^{-3}$.
![Intrisisk materiale](figures/intrinsic.png)
## Ekstrinsiske materialer
Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale.
I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).
### n-type
$$ n_0 \gg p_0,n_i $$
Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
### p-type
$$ p_0 \gg n_0,n_i $$
Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
## Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer
Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.
$$ r_i = g_i $$
$$ r_i = \alpha n_0 p_0 = \alpha n_i^2 = g_i $$
![Bærertetthet](figures/dos.png)
## Bærertetthet
Hvordan beskrive hvordan $e^-$ og $h^+$ er fordelt i CB og VB.
$$ \delta n(E) = N(E) \cdot f(E) \cdot \delta E $$
Der
* $\delta n(E)$ er tettheten av $e^-$ i CB.
* $N(E)$ er mulige av elektrontilstander
* $f(E)$ er Fermi-Dirac sannsynlighetsfordelingen
* $\delta E$ er energidifferansen vi ser på. I tilfellet over, er det $E_g$.
Finnes flere typer
* Isotropisk båndstruktur
* Anisotropisk båndstruktur
$$ N_C(E) = 4\pi \left(\frac{2m^*}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot E^\frac{1}{2} $$
### Fermi-Dirac
$$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp{\frac{E - E_F}{k_B T}}} $$
#### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
![Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger](figures/fermiDirac.png)
I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet.
For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.
### Frie elektroner og hull
Ved å se på "summen" av elektrontilstander, $ N_C $ og sannsynligheten for å finne dem der.
$$ \int_{0}^\infty f(E)N_C(E) dE $$
Gir oss en likning for frie elektroner i termisk likevet.
$$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N_c} e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}} $$
Som forkortet, og på samme måte for $p_0$
$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
### Noen resultater
$$ n_0 p_0 = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
$$ n_i p_i = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
Som sammen med $n_i = p_i$, gir følgende:
$$ n_0 p_0 = n_i^2 $$
Dette gir oss igjen
$$ n_0 = n_i e^{-\frac{E_F - E_i}{k_B T}} $$
$$ p_0 = n_i e^{-\frac{E_i - E_F}{k_B T}} $$
### Noen eksempler på bærertetthet
![DOS](figures/carrierDensity.png)
## Drift av ladningsbærere
Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.
Dersom det påtrykkes et elektrisk felt, vil partiklene fremdeles drifte, men de vi ha en netto bevegelse i en retning.
Elektroner vil bevege seg mot feltet, og hull vil bevege seg med.
Strømmen er beskrevet av følgende:
$$ J_x = q(n\mu_n + p\mu_p)E_x $$
Der
$$ \mu_n = \frac{q \tau}{m_n^*} \quad \text{og} \quad \mu_p = \frac{q \tau}{m_p^*} $$
## Hall-effekten
Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.
![Hall-effekten](figures/HallEffect.png)
Vi bruker Lortenz kraften, gitt som under:
$$ \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}\right)$$
Ved påtrykt strømm, $J_x$ og magnetfelt $B$ vil det settes opp et elektrisk felt mellom kontaktene A og B.
La halvlederen være en p-type, da vil, pga. Lorenz-kraften gjøre at hull beveger seg mot kontakten A. Og dermed lage et målbart elektrisk felt fra A til B.
Motsatt felt for n-type med samme strøm og magnetfelt.
Tettheten vil da være gitt som under.
$$ E_y = \frac{J_x}{qp_0}B_z = R_H J_x B_z $$
$$ R_H \equiv \frac{1}{qp_0} $$
Som gir følgende
$$ p_0 = \frac{I_x B_z}{q t V_{AB}} $$
## Diffusjon
Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.
> Diffusjon er å utligne konsentrasjonsforskjeller over tid, ved bruk av en tilfeldig prosess.
To viktige parameter i diffusjon:
* Spredningstiden $\tau$, gjennomsnittlig spredningsintervall
* Spredningslengden $\bar{l}$, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger
### Elektronfluxen gitt av diffusjon
For elektroner:
$$ \phi_n(x) = -D_n \frac{dn(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
For hull:
$$ \phi_p(x) = -D_p \frac{dp(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
$D_n$ og $D_p$ kalles diffusjonskonstantene.
### Strømmen gitt av diffusjon
For elektroner:
$$ J_n^\text{diff} = q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
For hull:
$$ J_p^\text{diff} = -q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt
For elektroner:
$$ J_n(x) = q\mu_n n(x) E(x) + q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
For hull:
$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
Der summen av disse gir den totale strømmen:
$$ J(x) = J_n(x) + J_p(x) $$
## Einsteinrealasjonen
> I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.
$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$
Som gir:
\begin{align\*}
E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\\\\
E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right)
\end{align\*}
Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$.
Dermed får vi Einsteinrelasjonen:
$$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$
## Kontinuitetslikningen
Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.
![Kontinuitet av strømmer](figures/continuityEq.png)
$$ \frac{\partial \delta n(x,t)}{\partial t} = \phantom{-}\frac{1}{q}\frac{\partial J_n(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta n}{\tau_n} $$
$$ \frac{\partial \delta p(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p} $$
## Steady State
Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.
![Bit med halvleder](figures/steadyStateBar.png)
Man kan videre anta at det er en konstant hulltetthet på enden med lyset.
$$ \delta p(x=0) = \Delta p $$
Fra diffusjon kan man anta at hullene diffunderer ut over i biten.
Siden det ikke er noen tidsavhengighet i hullkonsentrajsonen vil diffusjonsliknignen bli:
$$ \frac{d^\delta p}{dx^2} = \frac{\delta p}{D_p \tau_p} \equiv \frac{\delta p}{L_p^2} $$
Der $ L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p} $.
Denne har en generell løsning:
$$ \delta p = C_1 \exp{\frac{x}{L_p}} + C_2 \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
Og med grensebetingelser, $\delta p(x=0) = \Delta p$ og $\delta p(x \rightarrow \infty) = 0$, gir det oss:
$$ \delta p(x) = \Delta p \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
## Haynes-Shockley eksperimentet
Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.
![Haynes-Shockley Teori](figures/haynes-ShockleyTheory.png)
Vi bruker prinsippet om steady state for å finne mobiliteten til minoritetsladningsbærere og diffusjonskonstanten.
Ved å trykke på en strøm på ene siden, vil vi få et E-felt over halvlederen.
Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en utsmørt versjon av pulsen etter en tid $t_d$.
![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png)
# PN-overganger