Started new page

_config.yml

@@ -4,9 +4,13 @@ description_long: Personlig nettside for Øyvind Skaaden. Inneholder alt av stæ
 author: Øyvind Skaaden
 lang: no_NB
 url: https://glados.no
+markdown: kramdown
 #baseurl: dev
 #permalink: /:categories/:year/:month/:day/:title:output_ext
 
+kramdown:
+  parse_block_html: true
+
 google_analytics:
 
 theme: jekyll-theme-minimal

_includes/toc.html

@@ -0,0 +1,5 @@
+<nav>
+  <h4>Innhold</h4>
+  * this unordered seed list will be replaced by toc as unordered list
+  {:toc}
+</nav>

_layouts/lecture.html

@@ -13,5 +13,3 @@ layout: default
 {% if page.tags %}
   <small>tags: <em>{{ page.tags | join: "</em> - <em>" }}</em></small>
 {% endif %}
-
-`permalink: /lectures/:categories/:year/:month/:day/:title/`

courses/tfe4146/summary/summary.md

@@ -0,0 +1,325 @@
+---
+layout: lecture
+title: "Oppsumering av TFE4146"
+description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
+math: true
+permalink: /:path
+date: 2020-11-20
+---
+
+{% include toc.html %}
+
+# Grunnleggende om halvledere
+
+## Historie
+
+* **1830** - Mekanisk
+* **1944** - Elektromekanisk
+* **1946** - Releer og radiorør
+* **1948** - Transistor
+* **1958** - Første IC
+* **1971** - Første mikroprosessor
+* **2020** - Der i er i dag med nanoelektronikk
+
+Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal. 
+Skal dobles hver 18-24 måneder.
+
+## Halvledere
+
+![Oversikt over halvledere, metaller og isolatorer](./figures/conductivity.png)
+
+## Atomer og elektroner
+
+### Uskarphetsrelasjonen
+
+$$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
+
+### Paulti prinsippet
+
+> To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.
+
+### Schrödingers likning
+
+
+$$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$
+
+#### Løsninger
+
+$$ \psi(x) = Ae^{\pm ikx} \quad E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$
+
+Partikkel i en "boks".
+
+![Partikkel i en boks](figures/particleBox.png)
+
+![Tette bånd](figures/tetteBonds.png)
+
+
+## Effektiv masse
+
+$$ m^* = \frac{\hbar ^2}{\frac{d^2 E}{d k^2}} $$
+
+Ser på krumningen til energien i k-rommet.
+Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.
+
+## Intrisisk materiale 
+
+Inneholder bare en type materiale.
+
+$$ n = p = n_i $$
+
+Der $n$ er tettheten av frie elektroner i lednignsbånd (CB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
+$p$ er tettheten av hull i valensbåndet (VB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
+Og $n_i$ er den intrisiske elektrontettheten, målt i $\text{cm}^{-3}$.
+
+![Intrisisk materiale](figures/intrinsic.png)
+
+## Ekstrinsiske materialer
+
+Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale. 
+
+I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).
+
+### n-type
+
+$$ n_0 \gg p_0,n_i $$
+
+Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
+
+### p-type
+
+$$ p_0 \gg n_0,n_i $$
+
+Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
+
+## Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer
+
+Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.
+
+$$ r_i = g_i $$
+$$ r_i = \alpha n_0 p_0 = \alpha n_i^2 = g_i $$
+
+![Bærertetthet](figures/dos.png)
+
+## Bærertetthet
+
+Hvordan beskrive hvordan $e^-$ og $h^+$ er fordelt i CB og VB. 
+
+$$ \delta n(E) = N(E) \cdot f(E) \cdot \delta E $$
+
+Der 
+* $\delta n(E)$ er tettheten av $e^-$ i CB.
+* $N(E)$ er mulige av elektrontilstander
+* $f(E)$ er Fermi-Dirac sannsynlighetsfordelingen
+* $\delta E$ er energidifferansen vi ser på. I tilfellet over, er det $E_g$.
+
+Finnes flere typer
+* Isotropisk båndstruktur
+* Anisotropisk båndstruktur
+
+$$ N_C(E) = 4\pi \left(\frac{2m^*}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot E^\frac{1}{2} $$
+
+
+### Fermi-Dirac
+
+$$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp{\frac{E - E_F}{k_B T}}} $$
+
+#### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
+![Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger](figures/fermiDirac.png)
+
+I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet.
+For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.
+
+### Frie elektroner og hull
+
+Ved å se på "summen" av elektrontilstander, $ N_C $ og sannsynligheten for å finne dem der.
+
+$$ \int_{0}^\infty f(E)N_C(E) dE $$
+
+Gir oss en likning for frie elektroner i termisk likevet.
+
+$$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N_c} e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}} $$
+
+Som forkortet, og på samme måte for $p_0$
+
+$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
+
+$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
+
+### Noen resultater
+
+$$ n_0 p_0 = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
+$$ n_i p_i = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
+
+Som sammen med $n_i = p_i$, gir følgende:
+
+$$ n_0 p_0 = n_i^2 $$
+
+Dette gir oss igjen
+
+$$ n_0 = n_i e^{-\frac{E_F - E_i}{k_B T}} $$
+
+$$ p_0 = n_i e^{-\frac{E_i - E_F}{k_B T}} $$
+
+
+### Noen eksempler på bærertetthet
+
+![DOS](figures/carrierDensity.png)
+
+## Drift av ladningsbærere
+
+Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.
+
+Dersom det påtrykkes et elektrisk felt, vil partiklene fremdeles drifte, men de vi ha en netto bevegelse i en retning.
+Elektroner vil bevege seg mot feltet, og hull vil bevege seg med.
+
+Strømmen er beskrevet av følgende: 
+
+$$ J_x = q(n\mu_n + p\mu_p)E_x $$
+
+Der
+
+$$ \mu_n = \frac{q \tau}{m_n^*} \quad \text{og} \quad \mu_p = \frac{q \tau}{m_p^*} $$
+
+## Hall-effekten
+
+Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.
+
+![Hall-effekten](figures/HallEffect.png)
+
+Vi bruker Lortenz kraften, gitt som under:
+
+$$ \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}\right)$$
+
+Ved påtrykt strømm, $J_x$ og magnetfelt $B$ vil det settes opp et elektrisk felt mellom kontaktene A og B.
+
+La halvlederen være en p-type, da vil, pga. Lorenz-kraften gjøre at hull beveger seg mot kontakten A. Og dermed lage et målbart elektrisk felt fra A til B.
+
+Motsatt felt for n-type med samme strøm og magnetfelt.
+
+Tettheten vil da være gitt som under.
+
+$$ E_y = \frac{J_x}{qp_0}B_z = R_H J_x B_z $$
+
+$$ R_H \equiv \frac{1}{qp_0} $$
+
+Som gir følgende
+
+$$ p_0 = \frac{I_x B_z}{q t V_{AB}} $$
+
+## Diffusjon
+
+Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.
+
+> Diffusjon er å utligne konsentrasjonsforskjeller over tid, ved bruk av en tilfeldig prosess.
+
+To viktige parameter i diffusjon:
+* Spredningstiden $\tau$, gjennomsnittlig spredningsintervall
+* Spredningslengden $\bar{l}$, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger
+
+### Elektronfluxen gitt av diffusjon
+
+For elektroner:
+
+$$ \phi_n(x) = -D_n \frac{dn(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
+
+For hull:
+
+$$ \phi_p(x) = -D_p \frac{dp(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
+
+$D_n$ og $D_p$ kalles diffusjonskonstantene.
+
+### Strømmen gitt av diffusjon
+
+For elektroner:
+
+$$ J_n^\text{diff} = q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
+
+For hull:
+
+$$ J_p^\text{diff} = -q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
+
+### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt
+
+For elektroner:
+
+$$ J_n(x) = q\mu_n n(x) E(x) + q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
+
+For hull:
+
+$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
+
+Der summen av disse gir den totale strømmen:
+
+$$ J(x) = J_n(x) + J_p(x) $$
+
+## Einsteinrealasjonen
+
+> I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.
+
+$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$
+
+Som gir:
+
+\begin{align\*}
+    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\\\\
+    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right)
+\end{align\*}
+
+Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$.
+Dermed får vi Einsteinrelasjonen:
+
+$$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$
+
+
+## Kontinuitetslikningen
+
+Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.
+
+![Kontinuitet av strømmer](figures/continuityEq.png)
+ 
+$$ \frac{\partial \delta n(x,t)}{\partial t} = \phantom{-}\frac{1}{q}\frac{\partial J_n(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta n}{\tau_n} $$
+
+$$ \frac{\partial \delta p(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p} $$
+
+
+## Steady State
+
+Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.
+
+![Bit med halvleder](figures/steadyStateBar.png)
+
+Man kan videre anta at det er en konstant hulltetthet på enden med lyset.
+
+$$ \delta p(x=0) = \Delta p $$
+
+Fra diffusjon kan man anta at hullene diffunderer ut over i biten.
+Siden det ikke er noen tidsavhengighet i hullkonsentrajsonen vil diffusjonsliknignen bli:
+
+$$ \frac{d^\delta p}{dx^2} = \frac{\delta p}{D_p \tau_p} \equiv \frac{\delta p}{L_p^2} $$
+
+Der $ L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p} $.
+
+Denne har en generell løsning:
+
+$$ \delta p = C_1 \exp{\frac{x}{L_p}} + C_2 \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
+
+Og med grensebetingelser, $\delta p(x=0) = \Delta p$ og $\delta p(x \rightarrow \infty) = 0$, gir det oss:
+
+$$ \delta p(x) = \Delta p \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
+
+
+## Haynes-Shockley eksperimentet
+
+Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.
+
+![Haynes-Shockley Teori](figures/haynes-ShockleyTheory.png)
+
+Vi bruker prinsippet om steady state for å finne mobiliteten til minoritetsladningsbærere og diffusjonskonstanten.
+
+Ved å trykke på en strøm på ene siden, vil vi få et E-felt over halvlederen. 
+Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en utsmørt versjon av pulsen etter en tid $t_d$.
+
+![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png)
+
+
+# PN-overganger