2021-01-12 08:22:00 +01:00
|
|
|
|
---
|
2021-01-12 11:18:29 +01:00
|
|
|
|
title: "TFE4130 - 1D Bølger"
|
2021-01-12 08:22:00 +01:00
|
|
|
|
description: "2021-01-12"
|
|
|
|
|
|
math: true
|
2021-01-12 11:18:29 +01:00
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Hva er bølger?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bevegelse av partikler i et medium.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dispersive gjør at signalet kan endre seg over tid og strekning.
|
|
|
|
|
|
Bølgehastigheten er avhengig av frekvensen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ikke-dispersive betyr at bølgen beveger seg med samme hastighet hele tiden, og vil derfor være lik ved alle distanser.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bølger kan inteferere.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kurset handler mest om EM-bølger, men mekaniske bølger er enklere.
|
|
|
|
|
|
Det er da kun trykk som beskriver en bølge, mot en vektor med flere komponenter i EM-bølger.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Velocity potential:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$WIP$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Velocities at depth:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$WIP$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dispersjonsrelasjonen i havbølger
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ \omega^2 = gk \tanh kd $$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Der $g$ er tyngdeakserelasjonen, $k$ er bølgetallet og $d$ er dybden.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Forskjellige typer bølger
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Longitudinale: Langsgående bølger.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Transversale: Bølger som beveger seg normalt på propageringsretningen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Matematisk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bølgene er løsningen på bølgelikningen i forskjellige dimensjoner.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ \ddot{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Denne løses som en partiell differensiallikning.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En ikke-dispersiv hamonisk bølge er definert:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ p(x, t) = \hat{p} \sin(\omega t - kx) $$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Der $\omega = 2\pi f$ er frekvensen, $k = \tfrac{\omega}{c}$ er bølgekonstanten, $c$ er propageringshastigheten og $\hat{p}$ er bølgeamplituden.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Lydbølger
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lydbølger er endringer i lydtrykket rundt standardtrykket/det statiske trykket.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ \underbrace{P_\text{total}(x,t)}_{\text{Lufttrykk, [Pa]}} = \underbrace{P_\text{atm}}_\text{Statisk trykk} + \underbrace{p(x,t)}_\text{endringer i trykket, lyd} $$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bølgelikningen for lydbølger:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} $$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Helmholtz' likning
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Spesialtilfelle av bølgelikningen når bølgen er en harmonisk svingning.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ p(x,t) = p(x) e^{j\omega t} $$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Den tidsavhengige faktoren kan faktoriseres ut av likningen og vi står igjen med en ODE.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$ \frac{\partial^2 p(x)}{\partial x^2} + k^2 p(x) = 0 $$
|
