Finish lecture 15, stokastiske signaler

ntnu/ttt4120/summary/summary.md

@@ -783,7 +783,7 @@ Ganske like som i DTFT
 * Multiplikasjon av to sekvenser
 * Parsevals teorem
 
-### Filtrering med LFT
+### Filtrering med DFT
 
 Dersom vi har to sekvenser, $x[n]$ og $h[n]$ med lengder $L$ og $M$, må de "paddes" med $0$ på slutten, slik at lengden av sekvensene er begge $N$.
 
@@ -832,4 +832,83 @@ $$y[n] = \sum_m y_m[n]$$
 Dersom lengden av $h[n]$ er $M$, vil lengden av $y[n]$ være $L+M-1$.
 Dermed vil de siste $M-1$ verdiene i sekvensen $y_{m-1}[n]$ bli lagt til i starten av neste blokk $y_m[n]$.
 
-![Lange sekvenser](figures/longSeq.png) 
+![Lange sekvenser](figures/longSeq.png) 
+
+
+## Stokastiske signaler
+
+**Forventet verdi**:
+
+$$ m_X = E\{X\} = \int_{-\infty}^\infty xp_X(x)dx $$
+
+**Andre ordens moment**:
+
+$$ E\{X^2\} = \int_{-\infty}^\infty x^2 p_X(x)dx $$
+
+**Varians**:
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+  \sigma_X^2  &= E\{(X - m_X)^2\} \\
+              &= \int_{-\infty}^\infty (x-m_X)^2 p_X(x)dx \\
+              &= E\{X^2\} - m_X\}
+\end{aligned}$$
+
+### Autokorrelasjon av en stokastisk prosess
+
+$$
+\begin{gathered}
+  \gamma_{XX}(n,n+l) = E\{X[n]X[n+l]\} \\
+    = \int_{-\infty}^\infty x_1x_2 p_{X[n]X[n-l]}(x_1 x_2)dx_1 dx_2
+\end{gathered}
+$$
+
+### Krysskorrelasjon av en stokastisk prosess
+
+$$ \gamma_{XY}(n,n+l)) = E\{X[n]Y[n+l]\} $$
+
+### Hvitt Gausisk Støy
+
+Et viktig signal er det hvite gausiske støyet. Det er uavhengig, og har forventet verdi  $0$. 
+Variansen til signalet er $\sigma_W^2$ og autokorrelasjonen er $\sigma_W^2 \delta[n]$.
+
+Alle verdier i sekvensen er ukorrelerte.
+
+### Filtrering av stokastiske signaler
+
+Dersom vi har en stokastisk prosess $X[n]$, vil en realisjon av denne prosessen være $x[n]$. 
+Dersom vi filtrerer signalet med $h[n]$, hva blir da den forventede verdien.
+
+$$
+\begin{aligned}
+  m_Y &= E\{Y[n]\} \\
+      &= E\left\{\sum_{k=-\infty}^\infty h[n] X[n-k]\right\} \\
+      &= \sum_{k=-\infty}^\infty h[n] E\left\{X[n-k]\right\} \\
+      &= m_X \sum_{k=-\infty}^\infty h[n] \\
+      &= m_X \sum_{k=-\infty}^\infty h[n] e^{j2\pi 0 k} \\
+      &= m_X H(0)
+\end{aligned}
+$$
+
+**Autokorrealsjonen** av det stokastiske utgangssignalet $Y[n]$:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \gamma_{YY}[l]  &= E\{Y[n]Y[n+l]\} \\
+    &= h[-l]*h[l]*\gamma_{XX}[l] \\
+    &= r_{hh}[l] * \gamma_{XX}[l]   
+\end{aligned}
+$$
+
+**Spektral tetthet for effekten** av det stokastiske signalet $Y[n]$:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \Gamma_{YY}(f)  &= \mathcal{F}\{\gamma_{YY}[l]\} \\
+    &= \mathcal{F}\{r_{hh}[l] * \gamma_{XX}[l]\} \\
+    &= \mathcal{F}\{r_{hh}[l]\}\mathcal{F}\{\gamma_{XX}[l]\} \\
+    &= S_{hh}(f)\Gamma_{XX}(f) \\
+    &= |H(f)|^2 \Gamma_{XX}(f)
+\end{aligned}
+$$
+> Den spektrale utgangstettheten er produktet av den spektrale inngangstettheten og amplituderesponsen til filteret kvadrert.