From ee62c0d3a89e34fe1bba988177b043d841242c7d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=C3=98yvind?= Date: Fri, 4 Dec 2020 17:23:34 +0100 Subject: [PATCH] Finish lecture 15, stokastiske signaler --- ntnu/ttt4120/summary/summary.md | 83 ++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 81 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/ntnu/ttt4120/summary/summary.md b/ntnu/ttt4120/summary/summary.md index aa702ab..cac7534 100644 --- a/ntnu/ttt4120/summary/summary.md +++ b/ntnu/ttt4120/summary/summary.md @@ -783,7 +783,7 @@ Ganske like som i DTFT * Multiplikasjon av to sekvenser * Parsevals teorem -### Filtrering med LFT +### Filtrering med DFT Dersom vi har to sekvenser, $x[n]$ og $h[n]$ med lengder $L$ og $M$, må de "paddes" med $0$ på slutten, slik at lengden av sekvensene er begge $N$. @@ -832,4 +832,83 @@ $$y[n] = \sum_m y_m[n]$$ Dersom lengden av $h[n]$ er $M$, vil lengden av $y[n]$ være $L+M-1$. Dermed vil de siste $M-1$ verdiene i sekvensen $y_{m-1}[n]$ bli lagt til i starten av neste blokk $y_m[n]$. -![Lange sekvenser](figures/longSeq.png)  \ No newline at end of file +![Lange sekvenser](figures/longSeq.png)  + + +## Stokastiske signaler + +**Forventet verdi**: + +$$ m_X = E\{X\} = \int_{-\infty}^\infty xp_X(x)dx $$ + +**Andre ordens moment**: + +$$ E\{X^2\} = \int_{-\infty}^\infty x^2 p_X(x)dx $$ + +**Varians**: + +$$ +\begin{aligned} + \sigma_X^2 &= E\{(X - m_X)^2\} \\ + &= \int_{-\infty}^\infty (x-m_X)^2 p_X(x)dx \\ + &= E\{X^2\} - m_X\} +\end{aligned}$$ + +### Autokorrelasjon av en stokastisk prosess + +$$ +\begin{gathered} + \gamma_{XX}(n,n+l) = E\{X[n]X[n+l]\} \\ + = \int_{-\infty}^\infty x_1x_2 p_{X[n]X[n-l]}(x_1 x_2)dx_1 dx_2 +\end{gathered} +$$ + +### Krysskorrelasjon av en stokastisk prosess + +$$ \gamma_{XY}(n,n+l)) = E\{X[n]Y[n+l]\} $$ + +### Hvitt Gausisk Støy + +Et viktig signal er det hvite gausiske støyet. Det er uavhengig, og har forventet verdi $0$. +Variansen til signalet er $\sigma_W^2$ og autokorrelasjonen er $\sigma_W^2 \delta[n]$. + +Alle verdier i sekvensen er ukorrelerte. + +### Filtrering av stokastiske signaler + +Dersom vi har en stokastisk prosess $X[n]$, vil en realisjon av denne prosessen være $x[n]$. +Dersom vi filtrerer signalet med $h[n]$, hva blir da den forventede verdien. + +$$ +\begin{aligned} + m_Y &= E\{Y[n]\} \\ + &= E\left\{\sum_{k=-\infty}^\infty h[n] X[n-k]\right\} \\ + &= \sum_{k=-\infty}^\infty h[n] E\left\{X[n-k]\right\} \\ + &= m_X \sum_{k=-\infty}^\infty h[n] \\ + &= m_X \sum_{k=-\infty}^\infty h[n] e^{j2\pi 0 k} \\ + &= m_X H(0) +\end{aligned} +$$ + +**Autokorrealsjonen** av det stokastiske utgangssignalet $Y[n]$: + +$$ +\begin{aligned} + \gamma_{YY}[l] &= E\{Y[n]Y[n+l]\} \\ + &= h[-l]*h[l]*\gamma_{XX}[l] \\ + &= r_{hh}[l] * \gamma_{XX}[l] +\end{aligned} +$$ + +**Spektral tetthet for effekten** av det stokastiske signalet $Y[n]$: + +$$ +\begin{aligned} + \Gamma_{YY}(f) &= \mathcal{F}\{\gamma_{YY}[l]\} \\ + &= \mathcal{F}\{r_{hh}[l] * \gamma_{XX}[l]\} \\ + &= \mathcal{F}\{r_{hh}[l]\}\mathcal{F}\{\gamma_{XX}[l]\} \\ + &= S_{hh}(f)\Gamma_{XX}(f) \\ + &= |H(f)|^2 \Gamma_{XX}(f) +\end{aligned} +$$ +> Den spektrale utgangstettheten er produktet av den spektrale inngangstettheten og amplituderesponsen til filteret kvadrert. \ No newline at end of file