New Theme

courses/tfe4146/summary/summary.md

@@ -1,5 +1,4 @@
 ---
-layout: lecture
 title: "Oppsumering av TFE4146"
 description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
 math: true
@@ -7,11 +6,11 @@ permalink: /:path
 date: 2020-11-20
 ---
 
-{% include toc.html %}
+{% include utilities/toc.html %}
 
-# Grunnleggende om halvledere
+## Grunnleggende om halvledere
 
-## Historie
+### Historie
 
 * **1830** - Mekanisk
 * **1944** - Elektromekanisk
@@ -24,26 +23,26 @@ date: 2020-11-20
 Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal. 
 Skal dobles hver 18-24 måneder.
 
-## Halvledere
+### Halvledere
 
 ![Oversikt over halvledere, metaller og isolatorer](./figures/conductivity.png)
 
-## Atomer og elektroner
+### Atomer og elektroner
 
-### Uskarphetsrelasjonen
+#### Uskarphetsrelasjonen
 
 $$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
 
-### Paulti prinsippet
+#### Paulti prinsippet
 
 > To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.
 
-### Schrödingers likning
+#### Schrödingers likning
 
 
 $$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$
 
-#### Løsninger
+##### Løsninger
 
 $$ \psi(x) = Ae^{\pm ikx} \quad E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$
 
@@ -54,14 +53,14 @@ Partikkel i en "boks".
 ![Tette bånd](figures/tetteBonds.png)
 
 
-## Effektiv masse
+### Effektiv masse
 
 $$ m^* = \frac{\hbar ^2}{\frac{d^2 E}{d k^2}} $$
 
 Ser på krumningen til energien i k-rommet.
 Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.
 
-## Intrisisk materiale 
+### Intrisisk materiale 
 
 Inneholder bare en type materiale.
 
@@ -73,25 +72,25 @@ Og $n_i$ er den intrisiske elektrontettheten, målt i $\text{cm}^{-3}$.
 
 ![Intrisisk materiale](figures/intrinsic.png)
 
-## Ekstrinsiske materialer
+### Ekstrinsiske materialer
 
 Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale. 
 
 I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).
 
-### n-type
+#### n-type
 
 $$ n_0 \gg p_0,n_i $$
 
 Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
 
-### p-type
+#### p-type
 
 $$ p_0 \gg n_0,n_i $$
 
 Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
 
-## Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer
+### Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer
 
 Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.
 
@@ -100,7 +99,7 @@ $$ r_i = \alpha n_0 p_0 = \alpha n_i^2 = g_i $$
 
 ![Bærertetthet](figures/dos.png)
 
-## Bærertetthet
+### Bærertetthet
 
 Hvordan beskrive hvordan $e^-$ og $h^+$ er fordelt i CB og VB. 
 
@@ -119,17 +118,17 @@ Finnes flere typer
 $$ N_C(E) = 4\pi \left(\frac{2m^*}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot E^\frac{1}{2} $$
 
 
-### Fermi-Dirac
+#### Fermi-Dirac
 
 $$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp{\frac{E - E_F}{k_B T}}} $$
 
-#### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
+##### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
 ![Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger](figures/fermiDirac.png)
 
 I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet.
 For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.
 
-### Frie elektroner og hull
+#### Frie elektroner og hull
 
 Ved å se på "summen" av elektrontilstander, $ N_C $ og sannsynligheten for å finne dem der.
 
@@ -145,7 +144,7 @@ $$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^*
 
 $$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
 
-### Noen resultater
+#### Noen resultater
 
 $$ n_0 p_0 = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
 $$ n_i p_i = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
@@ -161,11 +160,11 @@ $$ n_0 = n_i e^{-\frac{E_F - E_i}{k_B T}} $$
 $$ p_0 = n_i e^{-\frac{E_i - E_F}{k_B T}} $$
 
 
-### Noen eksempler på bærertetthet
+#### Noen eksempler på bærertetthet
 
 ![DOS](figures/carrierDensity.png)
 
-## Drift av ladningsbærere
+### Drift av ladningsbærere
 
 Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.
 
@@ -180,7 +179,7 @@ Der
 
 $$ \mu_n = \frac{q \tau}{m_n^*} \quad \text{og} \quad \mu_p = \frac{q \tau}{m_p^*} $$
 
-## Hall-effekten
+### Hall-effekten
 
 Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.
 
@@ -206,7 +205,7 @@ Som gir følgende
 
 $$ p_0 = \frac{I_x B_z}{q t V_{AB}} $$
 
-## Diffusjon
+### Diffusjon
 
 Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.
 
@@ -216,7 +215,7 @@ To viktige parameter i diffusjon:
 * Spredningstiden $\tau$, gjennomsnittlig spredningsintervall
 * Spredningslengden $\bar{l}$, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger
 
-### Elektronfluxen gitt av diffusjon
+#### Elektronfluxen gitt av diffusjon
 
 For elektroner:
 
@@ -228,7 +227,7 @@ $$ \phi_p(x) = -D_p \frac{dp(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{
 
 $D_n$ og $D_p$ kalles diffusjonskonstantene.
 
-### Strømmen gitt av diffusjon
+#### Strømmen gitt av diffusjon
 
 For elektroner:
 
@@ -238,7 +237,7 @@ For hull:
 
 $$ J_p^\text{diff} = -q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
 
-### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt
+#### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt
 
 For elektroner:
 
@@ -252,7 +251,7 @@ Der summen av disse gir den totale strømmen:
 
 $$ J(x) = J_n(x) + J_p(x) $$
 
-## Einsteinrealasjonen
+### Einsteinrealasjonen
 
 > I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.
 
@@ -271,7 +270,7 @@ Dermed får vi Einsteinrelasjonen:
 $$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$
 
 
-## Kontinuitetslikningen
+### Kontinuitetslikningen
 
 Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.
 
@@ -282,7 +281,7 @@ $$ \frac{\partial \delta n(x,t)}{\partial t} = \phantom{-}\frac{1}{q}\frac{\part
 $$ \frac{\partial \delta p(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p} $$
 
 
-## Steady State
+### Steady State
 
 Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.
 
@@ -308,7 +307,7 @@ Og med grensebetingelser, $\delta p(x=0) = \Delta p$ og $\delta p(x \rightarrow
 $$ \delta p(x) = \Delta p \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
 
 
-## Haynes-Shockley eksperimentet
+### Haynes-Shockley eksperimentet
 
 Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.
 
@@ -322,4 +321,13 @@ Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en
 ![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png)
 
 
-# PN-overganger
+## PN-overganger
+
+Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale.
+Dermed ved termisk likevekt er følgende sant.
+
+$$ \frac{d E_F}{ d x} = 0 $$
+
+$$ n_n \gg n_p $$
+
+$$ p_p \gg p_n $$