Finish lecture 12 DFT analysis

ntnu/ttt4120/summary/summary.md

@@ -747,6 +747,11 @@ Der den periodiske utvidelsen av $x[n]$, $x_p[n]$ er definert:
 
 $$ x_p[n] = \sum_{l=-\infty}^{\infty} x[n - lN] $$
 
+For at vi skal kunne rekonstruere det orginale spektrumet, må vi vite følgende:
+
+> Vi trenger DFT med størrelse $N \geq M + L - 1$, for å unikt rekonstuere $y[n]$ i frekvensdomenet.
+> Der $M$ og $L$ er lengden av to sekvenser vi ønsker å konvulere.
+
 ### Diskret-tid-fourierrekke
 
 $$
@@ -762,7 +767,7 @@ $$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-\frac{j2\pi k}{N}n}, k=0,\ldots,N-1 $$
 
 ### Invers Diskret Fouriertransformasjon (IDFT)
 
-$$x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi k}{N}n}, n=0,\ldots,N-1 $$
+$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi k}{N}n}, n=0,\ldots,N-1 $$
 
 ### Egenskaper til DFT
 
@@ -776,4 +781,55 @@ Ganske like som i DTFT
 * Konjugerte
 * Sirkulær konvolusjon
 * Multiplikasjon av to sekvenser
-* Pasevals teorem
+* Parsevals teorem
+
+### Filtrering med LFT
+
+Dersom vi har to sekvenser, $x[n]$ og $h[n]$ med lengder $L$ og $M$, må de "paddes" med $0$ på slutten, slik at lengden av sekvensene er begge $N$.
+
+$$
+\begin{aligned}
+  x[n] &= \{x[0], \ldots, x[L-1], \underbrace{0,\ldots,0}_{N-L}\} \\
+  h[n] &= \{h[0], \ldots, h[L-1], \underbrace{0,\ldots,0}_{N-M}\}
+\end{aligned}
+$$
+
+Da kan utgangssekvensen beregnes med DFT.
+
+$$
+\begin{aligned}
+  y[n]  &= \text{IDFT}_N\{Y(k)\} \\
+        &= \text{IDFT}_N\{\text{DFT}_N\{h[n]\}\cdot\text{DFT}_N\{x[n]\}\}
+\end{aligned}
+$$
+
+Dersom vi velger $N < M + L - 1$ vil vi kunne få aliasing i tidsdomenet.
+
+### Filtrering av lange sekvenser
+
+Dersom vi har veldig lange sekvenser kan det bli veldig utregningsmessig komlekst.
+Dette er spesielt merkbart i sanntidsprossesering (ikke noe start eller slutt).
+
+Det er mulig å dele opp sekvensene i mindre biter.
+Da brukes den additive egenskapen til konolusjon. 
+
+$$
+\begin{aligned}
+  y[n]  &= h[n] * (x_1[n] + x_2[n]) \\
+        &= h[n] * x_1[n] + h[n] * x_2[n] \\
+        &= y_1[x] + y_2[n]
+\end{aligned}
+$$
+
+Dette brukes videre for å filtrere lange sekvenser:
+
+1. Del opp sekvensen $x[n]$ opp i *ikke-overlappende blokker* $x_m[n]$, hver med lengde $L$.
+2. Filtrer hver blokk $x_m [n]$ med $h[n]$ for å produsere *utgangsblokken* $y_m[n]$.
+3. Kombiner blokkene sammen til den totale sekvensen.
+
+$$y[n] = \sum_m y_m[n]$$
+
+Dersom lengden av $h[n]$ er $M$, vil lengden av $y[n]$ være $L+M-1$.
+Dermed vil de siste $M-1$ verdiene i sekvensen $y_{m-1}[n]$ bli lagt til i starten av neste blokk $y_m[n]$.
+
+![Lange sekvenser](figures/longSeq.png)