Finish lecture 11, DFT

assets/css/components/theme.css

@@ -110,5 +110,3 @@ a:hover {
 .MJX_LiveRegion {
   display: none;
 }
-
-

ntnu/ttt4120/summary/summary.md

@@ -188,7 +188,7 @@ Vi sender ut en enhetspuls og ser på hvordan systemet utvikler seg.
 Vi kan finne impulsresponsen ved å sette $x[n] = \delta[n]$.
 Da får vi at $y[n] = h[n]$.
 
-### Konvulosjon
+### Konvolusjon
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -200,13 +200,13 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-Det er mulig å gjøre konvulosjon både stegvis eller med en matrise. 
+Det er mulig å gjøre konvolusjon både stegvis eller med en matrise. 
 
 Matrisen er bare å lage en "gangetabell med verdiene i sekvensene, gange sammen og summere anti-diagonalene.
 
-![Utregning av konvulosjon](figures/diagonalConv.png)
+![Utregning av Konvolusjon](figures/diagonalConv.png)
 
-Dersom lengden av sekvensen $x[n]$ er $N_x$ og lengden av $h[n]$ er $N_h$, vil lengden av konvulosjonen være:
+Dersom lengden av sekvensen $x[n]$ er $N_x$ og lengden av $h[n]$ er $N_h$, vil lengden av konvolusjonen være:
 
 $$ N_y = N_x + N_h - 1 $$
 
@@ -264,7 +264,7 @@ $$ x[n-k] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow}e^{-j\omega n}X(\omega) $$
 
 $$ x[-n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(-\omega) $$
 
-* Konvulosjon
+* Konvolusjon
 
 $$ x_1[n] * x_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X_1(\omega)X_2(\omega) $$
 
@@ -344,7 +344,7 @@ $$ a^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(a^{-1} z) $$
 
 $$ x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(z^{-1}) $$
 
-* Konvulosjon
+* Konvolusjon
   * ROC minst snittet av ROC til $X_1$ og $X_2$.
 
 $$ x_1[n]*x_2[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z)$$
@@ -415,6 +415,7 @@ figure(2)
 plot(W/pi,abs(H));
 {%endhighlight%}
 
+
 ## Filteregenskaper
 
 Frekvensresponsen til et system bestemmer hvordan type system det er.
@@ -495,7 +496,7 @@ Korrelasjon er et mål på likhet.
 
 ### Krysskorrelasjon
 
-Dersom vi har en sekvens $x[n]$ og $y[n]$, vil kryssrelassjonen mellom disse to være:
+Dersom vi har en sekvens $x[n]$ og $y[n]$, vil kryssrelasjonen mellom disse to være:
 
 $$ 
 \begin{aligned}
@@ -583,3 +584,196 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
+### Inngang-utgangs-korrelasjoner
+
+![Inngang-utgangs-korrelasjoner](figures/input-output-corr.png)
+
+#### I z-transformasjon
+
+$$
+\begin{gathered}
+  h[l]*h[-l]                  \\
+  \updownarrow\mathcal{Z}  \\
+  H(z)H(z^{-1})               \\ \\
+
+  r_{xy} = h[l]*r_{xx}[l]     \\
+  \updownarrow\mathcal{Z}  \\
+  H(z)S_{xx}(z)               \\ \\
+
+  r_{yy} = r_{hh}[l]*r_{xx}[l]\\
+  \updownarrow\mathcal{Z}  \\
+  H(z)H(z^{-1})S_{xx}(z)
+\end{gathered}
+$$
+
+#### Utgangs og kryssspektral tetthet
+
+$$
+\begin{aligned}
+  S_{yy}(\omega)  &= |H(\omega)|^2 S_{xx}(\omega) \\
+                  &= |H(\omega)|^2 |X(\omega)|^2  \\ \\
+
+  S_{yx}(\omega)  &= H(\omega)S_{xx}(\omega)
+\end{aligned}
+$$
+
+## Invers Z-transformasjon
+
+![Z-transformasjonen](figures/z-transform.png)
+
+Det enkleste for å gjøre en invers z-transformasjon er å delbrøkoppspalte likningen. 
+
+Vi kan skrive:
+
+$$ 
+\begin{aligned}
+  x[n]  &= \sum_{k=1}^N R_k z^{-1} \\
+        &= \sum_{k=1}^N R_k p_k^n u[n]
+\end{aligned}
+$$
+
+Der $p_k$ er den $k$-ende polen, og $R_k$ er resydyren ved $p_k$.
+
+Dersom vi har komplekskonjugerte par, $p_k = p_i^\* $ er også residyrene komplekskonjugerte, $R_k = R_i^*$.
+
+For å delbrøkoppspalte, må vi gjøre følgende:
+1. Faktorisere nevnerpolynomet $A(z)$ for å finne alle poler $p_1, \ldots, p_N$.
+2. Deretter finne residyrene $R_1, \ldots, R_N$.
+
+Det første punktet er ganske greit, det er bare å faktorisere som vanlig, med komplekse tall.
+Det å finne residyrene er vanskeligere.
+
+Finnes to metoder for å finne poler og residyrer, løse lineære likninger, som ofte tar veldig lang tid. Selv om dette er en langvarig prosess, fungerer den alltid.
+
+Vi kan også bare gange begge sider med $1-p_k z^{-1}$.
+Da ender vi opp med å få $R_k$ alene uten noen faktorer med poler.
+
+Videre setter man $z=p_k$. Da vill alt annet enn $R_k$ forsvinne, og vi finner en verdi for $R_k$.
+
+En generell formel er som følger:
+
+$$ R_k = (1-p_k z^{-1})X(z)\Big|_{z=p_k} $$
+
+### Eksempel (regning)
+
+Vi skal delbrøkoppspalte:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  X(z)  &= \frac{1}{\left(1-\frac{1}{4}z^{-2}\right)} \\
+        &= \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2}z^{-1}\right)\left(1+\frac{1}{2}z^{-1}\right)}\\
+        &= \frac{R_1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{R_2}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}
+\end{aligned}
+$$
+
+Det er da veldig lett å løse residyrene ved bruk av formelen:
+
+$$
+\begin{aligned}
+  R_1 &= \left(R_1 + \frac{R_2\left(1-\frac{1}{2}z^{-1}\right)}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}\right)\Bigg|_{z=\frac{1}{2}} \\
+      &= \frac{1}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}\bigg|_{z=\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\\ \\
+  R_2 &= \left(\frac{R_1\left(1+\frac{1}{2}z^{-1}\right)}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} + R_2\right)\Bigg|_{z=-\frac{1}{2}} \\
+      &= \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}\bigg|_{z=-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
+\end{aligned}
+$$
+
+### Eksempel 1 (MatLab)
+
+Skal finne impulsresponsen på:
+
+$$ H(z) = \frac{3 - 4z^{-1}}{1 - 3.5z^{-1} + 1.5z^{-2}} $$
+
+Dette kan løses i matlab med koden under.
+
+{% highlight matlab %}
+B = [3 -4];
+A = [1 -3.5 1.5];
+
+[R,P,C] = residuez(B,A);
+
+R % Residues
+P % Poles
+C % Direct terms (if improper)
+{% endhighlight %}
+
+### Eksempel 2 (MatLab)
+
+Dersom vi også ønsker å plotte frekvensresponsen til en annen funksjon:
+
+$$H(\omega) = \frac{1 - e^{-j2\omega}}{1 - 0.81e^{-j2\omega}}$$
+
+Så kan det løses i matlab med koden under:
+
+{% highlight matlab %}
+B = [1 0 -1];
+A = [1 0 -0.81];
+W = [0:1:500]*pi/500;
+H = freqz(B,A,W);
+
+magH = abs(H); phaH = angle(H);
+
+subplot(2,1,1); plot(W/pi,magH);
+xlabel('Frequency in pi units')
+ylabel('Magnitude')
+
+subplot(2,1,2); plot(W/pi,phaH);
+xlabel('Frequency in pi units')
+ylabel('Phase')
+{% endhighlight %}
+
+## Diskret Fouriertransformasjon (DFT)
+
+Litt som DTFT, men her sampler vi frekvensdomenet. Som videre kan rekonstrueres tilbake til en fullverdig kontinuerlig frekvensrespons.
+
+Denne kan effektiviseres med en algoritme kalt FFT (Rask fouriertransformasjon eller "FastFourierTransform").
+
+### Frekvenssampling
+
+Vi sampler frekvensene i intervallet $0\leq\omega<2\pi$, med $N$ likte mye mellom punktene.
+
+$$X(\omega_k) = X(\omega)|_{\omega = \omega_k} $$
+
+Der:
+
+$$ \omega_k = \frac{2\pi k}{N}, k = 0, \ldots, N-1 $$
+
+Siden DTFT av signalet er periodisk med $2\pi$, vet vi at DFT også er periodisk med $N$, $e^{-\frac{j2\pi}{N}n} = e^{-\frac{j2\pi}{N}(n+N)}$ 
+
+Dersom vi tar DTFT av en sekvens $x[n]$ evaluert i punktene $\omega_k$, får vi:
+
+$$X(\omega_k) = \sum_{n=0}^{N-1} x_p[n]e^{-\frac{j2\pi k}{N}n} $$
+
+Der den periodiske utvidelsen av $x[n]$, $x_p[n]$ er definert:
+
+$$ x_p[n] = \sum_{l=-\infty}^{\infty} x[n - lN] $$
+
+### Diskret-tid-fourierrekke
+
+$$
+\begin{gathered}
+  x_p[n] = \sum_{k=0}^{N-1}c_k e^{\frac{j2\pi k}{N}n}, n=0,\ldots,N-1 \\
+  c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x_p[n] e^{-\frac{j2\pi k}{N}n} = \frac{1}{N}X\left(\frac{2\pi k}{N}\right)
+\end{gathered}
+$$
+
+### Diskret Fouriertransformasjon (DFT)
+
+$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-\frac{j2\pi k}{N}n}, k=0,\ldots,N-1 $$
+
+### Invers Diskret Fouriertransformasjon (IDFT)
+
+$$x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi k}{N}n}, n=0,\ldots,N-1 $$
+
+### Egenskaper til DFT
+
+Ganske like som i DTFT
+
+* Periodisk
+* Lineær
+* Tidsreversering
+* Sirkulær tidsforskyvning
+* Sirkulær frekvensforskyvning
+* Konjugerte
+* Sirkulær konvolusjon
+* Multiplikasjon av to sekvenser
+* Pasevals teorem