Finished lecture 7

ntnu/ttt4120/summary/summary.md

@@ -104,7 +104,387 @@ $$
 Denne du får standardversjonen ved å sette $k=0$.
 
 
+#### Sinus
+
+Dersom en sinus-kurve skal være periodisk med en periode $N$, og siden vi vet at en diskret-tid sinus er periodisk med $2\pi$, har vi at:
+
+$$
+\begin{align*}
+	\cos(2\pi n) &= \cos(2\pi f (n+N)) \\
+	\Rightarrow 2\pi f N &= 2\pi k \\	
+	\Rightarrow f &= \frac{k}{N}
+\end{align*}
+$$
+
+### Kompleks-eksponensial
+
+$$ x[n] = Ae^{[2\pi f n + \theta]} $$
+
+Denne har også en periodisitet på $2\pi$, og sekvensen er periodisk dersom $f$ er rasjonell.
+
+Denne er veldig viktig i diskret-tid Fourier representasjon.
+
+### Sampling av en sinus-funksjon
+
+Anta vi sampler en analog sinus-funksjon med intervallene $nT = \frac{n}{F_S}$:
+
+$$ x_a(t) = A\cos(\Omega t) = A\cos(2\pi F t) $$
+
+Da vil den diskrete sekvensen være:
+
+$$
+\begin{align*}
+	x[n] 	&= x_a(nT) \\
+				&= A\cos\left[2\pi\frac{F}{F_S}n\right] \\
+				&= A\cos\left[2\pi f n\right]
+\end{align*}
+$$
+
+Der vi har $f=\frac{F}{F_S}$ eller $\omega = \Omega T$, som er den relative/normaliserte frekvensen (uavhengig av samlingfreksensen).
+
+Fra før vet vi at:
+
+$$ 
+\begin{align*}
+	-\frac{1}{2} < &f \leq \frac{1}{2} \\
+	-\frac{F_S}{2} < &f \leq \frac{F_S}{2}
+\end{align*}
+$$
 
 
+### Dekomponering av signaler
+
+Vi kan få ut en verdi av en sekvens ved å gange inn enhetspulsen på en gitt $n$. 
+
+$$ x[k] = x[n]\delta[n-k] $$
+
+Der hele signalet kan gis som en sum av hver sekvensverdi:
+
+$$ x[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k] $$
+
+### Diskret-tid-systemer
+
+Et diskret-tid-system kan klassifiseres som:
+* Lineær eller ikke-lineær
+* Tidsinvariant eller tidsvariant
+* Kausale eller ikkekausale
+
+I diskret-tid-systemer gjelder følgende:
+* Superpossisjon (lineæritet)
+* Varierer ikke med tiden (tidsinvariant)
+* Kausalt
+  * Resultatet er kun avhengig av tidligere eller nåværende verdier
+* Ikke-kausalt
+  * Gunstig å implimentere der vi vet alle verdier i en sekvens, men ikke i sanntidssystemer.
+* Stabile
+  * Et system er kun stabilt dersom for hvert bundet inngangssignal er det et bundet utgangssignal.
+
+### Impulsrespons
+
+Vi sender ut en enhetspuls og ser på hvordan systemet utvikler seg.
+
+![Impulsrespons](figures/impulseResponse.png)
+
+Vi kan finne impulsresponsen ved å sette $x[n] = \delta[n]$.
+Da får vi at $y[n] = h[n]$.
+
+### Konvulosjon
+
+$$
+\begin{align*}
+	y[n] 	&= \mathcal{H}\{x[n]\} \\
+				&= \mathcal{H}\left\{\sum_k x[k]\delta[n-k]\right\}\\
+				&= \sum_k x[k]\mathcal{H}\left\{\delta[n-k]\right\} \\
+				&= \sum_k x[k] h[n-k] \\
+				&= x[n] * h[n]
+\end{align*}
+$$
+
+Det er mulig å gjøre konvulosjon både stegvis eller med en matrise. 
+
+Matrisen er bare å lage en "gangetabell med verdiene i sekvensene, gange sammen og summere anti-diagonalene.
+
+![Utregning av konvulosjon](figures/diagonalConv.png)
+
+Dersom lengden av sekvensen $x[n]$ er $N_x$ og lengden av $h[n]$ er $N_h$, vil lengden av konvulosjonen være:
+
+$$ N_y = N_x + N_h - 1 $$
+
+### Lengde av systemer
+
+Det finnes to typer lengde på impulsresponsen. IIR og FIR.
+
+#### IIR
+
+"Infinite(-duration) impulse response", er et system der lengden av impulsresponsen er uendelig i lengde. Typisk er utgangen avhengig av forrige resultat.
+
+#### FIR
+
+"Finite(-duration) impulse response", er et system der impulsresponsen har en endelig lengde.
 
 
+## Diskret-tid Fourieranalyse
+
+Analytisk transformasjon (DTFT)
+
+$$ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j\omega n} $$
+
+Og invers transformasjon (syntetisk transformasjon)
+
+$$ x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\omega) e^{j\omega n} d\omega$$
+
+Grensene for frekvensdomenet er fra $-\pi$ til $\pi$.
+
+Notasjonen er som følger
+
+$$ x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(\omega) $$
+
+### Egenskaper
+
+#### Symmetri
+
+Odde og like funksjoner, likt som imaginære og ikke imaginære (reelle).
+
+* Odd: $x[-n] = -x[n]$
+* Lik: $x[-n] = x[n]$
+
+Man kan skrive en sekvens på formen:
+
+$$ x[n] = \underbrace{x_R[n]}_{\text{reell}} + \underbrace{jx_I[n]}_{\text{imaginær}} $$
+
+![DTFT symmetrier](figures/DTFTSymmetry.png)
+
+#### Andre egenskaper
+
+* Tidsforskyvning
+
+$$ x[n-k] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow}e^{-j\omega n}X(\omega) $$
+
+* Tidsreversering
+
+$$ x[-n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(-\omega) $$
+
+* Konvulosjon
+
+$$ x_1[n] * x_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X_1(\omega)X_2(\omega) $$
+
+* Frekvensskifting
+
+$$ e^{j\omega_0 n}x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow} X(\omega - \omega_0) $$
+
+* Modulasjon
+
+$$ 
+\begin{gather*}
+	x[n] \cos(\omega_0 n) \\
+	\updownarrow\mathcal{F} \\
+	\frac{1}{2}\left[(X(\omega - \omega_0)+ (X(\omega + \omega_0)\right]
+\end{gather*} 
+$$
+
+* Parseval
+
+$$ 
+\begin{gather*}
+	\sum_n |x[n]|^2\\
+	\updownarrow\mathcal{F} \\
+	\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\omega)d\omega
+\end{gather*} 
+$$
+
+* Vindu
+
+$$ 
+\begin{gather*}
+	x_1[n]x_2[n]\\
+	\updownarrow\mathcal{F} \\
+	\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X_1(\lambda)X_2(\omega - \lambda)d\omega
+\end{gather*} 
+$$
+
+## Z-transformasjon
+
+Z-transformasjonen av et diskret sekvens er gitt som:
+
+$$ X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n} $$
+
+Notasjonen er:
+
+$$x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(z)$$
+
+$$x[n] = \mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}$$
+
+Transformasjonen transformerer en sekvens til den tilsvarende representasjonen i det komplekse $z$-planet.
+
+ROC (Region of convergence) er settet med alle verdier av $z$ der $X(z)$ har en endelig verdi.
+
+Transformasjonen bestemmer ikke unikt tids-sekvensen. 
+Ved å velge en ROC kan vi lage et ønsket signal/filter.
+
+Dersom vi har at ROC er alt utenfor en sirkel, er sekvensen *kausal*.
+
+Dersom ROC er innsiden av en sirkel, er sekvensen ***anti**kausal*.
+
+### Egenskaper
+
+* Lineær
+  * ROC av resultatet er minst $\mathcal{R}\_{X_1} \cap \mathcal{R}\_{X_2}$
+* Tidsforskyvning
+  * ROC lik som for $X(z)$
+
+$$ x[n-k] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow}z^{-k}X(z) $$
+
+* Skalering
+  * Dersom ROC før skalering er $r_1 < \|z\| < r_2$, så er ROC etter lik $\|a\|r_1 < \|z\| < \|a\|r_2$.
+
+$$ a^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(a^{-1} z) $$
+
+* Tidsreversering
+  * Dersom ROC er $r_1 < \|z\| < r_2 $, så er ROC etter tidsreversering $\frac{1}{r_2} < \|z\| < \frac{1}{r_1}$
+
+$$ x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X(z^{-1}) $$
+
+* Konvulosjon
+  * ROC minst snittet av ROC til $X_1$ og $X_2$.
+
+$$ x_1[n]*x_2[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z)$$
+
+* Derivering
+  * ROC er den samme
+  * Initialverditeroremet: $x[0] = \lim_{z\rightarrow \infty}X(z)$, betyr at $x[n]$ er kausalt.
+
+$$ nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} $$
+
+### Rasjonelle z-transformasjoner
+
+Rasjonell dersom transformasjonen kan bli representert som forholdet mellom to polynomer i $z^{-1}$ eller $z$.
+
+$$
+\begin{align*}
+	X(z) 	&= \frac{B(z)}{A(z)} \\
+				&= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots + b_M z^{-M} }{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots + a_N z^{-N}} \\
+				&= \frac{b_0}{a_0}\frac{\prod_{k=1}^M \left(1-z_k z^{-1}\right)}{\prod_{k=1}^N \left(1-p_k z^{-1}\right)}
+\end{align*}
+$$
+
+
+### Systemanalyse
+
+![Systemanalyse](figures/linearTimeInvariant.png)
+
+Dersom vi har et system som vist over, sender inn en sekvens $x[n]$ eller $X(z)$ og observerer utgangen $y[n]$ eller $Y(z)$, kan vi finne systemfunksjonen.
+
+$$h[n] = \frac{y[n]}{x[n]}$$
+
+$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} $$
+
+Vi kan bruke transformasjonen til å gå mellom dem.
+
+Begge er helt ekvivalente.
+
+#### Kausalitet og stabilitet
+
+For at et system skal være kausalt, må ROC være alt utenfor en sirkel.
+
+For at et system skal være BIBO stabilt, må enhetssirkelen $z = e^{-j\omega}$ være med i ROC.
+
+Det er mulig å bestemme om et system er kausal og stabilt ved å velge ROC.
+
+ROC må heller ikke inneholde noen poler.
+
+#### Frekvensrespons
+
+For å finne frekvensresponsen til et system, "går" man langs enhetsirkelen, fra $-\pi$ til $\pi$.
+
+
+##### Utregning
+
+Dersom vi har frekvensresponsen til et system:
+
+$$ H_1(z) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} $$
+
+Matlabløsningen er som under
+
+{% highlight matlab %}
+B = 1;
+A = [1 -0.5];
+figure(1)
+zplane(B,A)
+figure(2)
+[H,W]=freqz(B,A);
+plot(W/pi,abs(H));
+{%endhighlight%}
+
+## Filteregenskaper
+
+Frekvensresponsen til et system bestemmer hvordan type system det er.
+
+* Båndpass
+  * Slipper gjennom visse frekvenser
+* Båndstopp
+  * Stopper visse frekvenser
+* Lavpass
+  * Slipper gjennom lave frekvenser
+* Høypass
+  * Slipper gjennom høye frekvenser
+
+### Lavpass
+
+I et lavpassfilter ønsker vi å putte polene nærme(re) $z=1$, og nuller nærme(re) $z=-1$.
+
+Dersom vi ser på et pol-null-plot ser vi at frekvensen er $0$ ved $z=1$, og poler forsterker et signal når vi er "nærme" det (ref tilbake til hvordan finne frevensresponsen til en z-transformasjon).
+
+### Høypass
+
+I et høypassfilter ønsker vi det motsatte av et lavpassfilter. Vi ønsker å putte så mange nuller nærheten av $z=1$, og så mange poler i nærheten av $z=-1$.
+
+Dette er av samme grunn som for et lavpass.
+
+### "Notch"-filter
+
+Kan isolere seg rundt en veldig spesifik frekvens og fjerne den.
+
+For å oppnå dette, så kan man putte noen nuller på enhetssirkelen og noen poler i nærheten av nullene. Da får vi veldig smale bånd.
+
+### Kamfilter
+
+Litt som et omvendt "notch"-filter. Det er periodiske nuller langs enhetssirkelen. Ender opp med noe som ligner på en kam.
+
+### Allpassfilter
+
+Dette filteret har en amplituderespons på $1$. Men den kan endre fasen på signalet ved gitte frekvenser.
+
+### Lineær-fase-filtere
+
+Dette er ønskelig, fordi da får vi kun en tidsforsinkning i utgangssignalet i båndpass. 
+For et lavpass er dette for lave frekvenser.
+
+$$ \angle H(\omega) = a + b\omega $$
+
+Der 
+
+$$H(\omega) = |H(\omega)| e^{j\angle H(\omega)} $$
+
+Da vil nullene komme i resiproke par. 
+Altså dersom vi har en null i en vinkel, og avstand fra enhetssirkelen. Da vil den resiproke nullen være i samme vinkel, men samme avstand fra enhetssirkelen, bare på andre siden av sirkelen. 
+
+![Lineær fase](figures/LinearPhase.svg)
+
+## Inverse- og minimumsfase-systemer
+
+Dersom et system $\mathcal{T}$ er inverterbart, kan vi finne inngangssignalet dersom vi har utgangsignalet og den inverterbare systemgfunksjonen.
+
+$$
+\begin{gather*}
+	h[n]*h_I[n] = \delta[n] \\
+	\updownarrow\mathcal{Z} \\
+	H(z)H_I(z) = 1
+\end{gather*}
+$$
+
+
+### Minimumsfasefilter
+
+Et system kalles minimumfase dersom alle nuller og poler ligger innenfor enhetssirkelen.
+
+Et stabilt pol-null-system som er av typen minimum fase har en stabil invers som også er minimum fase.