Restructure of files

ntnu/20h/tfe4146/summary/summary.md

@@ -0,0 +1,774 @@
+---
+title: "Oppsumering av TFE4146"
+description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
+math: true
+date: 2020-11-20
+toc: true
+---
+
+
+## Grunnleggende om halvledere
+
+### Historie
+
+* **1830** - Mekanisk
+* **1944** - Elektromekanisk
+* **1946** - Releer og radiorør
+* **1948** - Transistor
+* **1958** - Første IC
+* **1971** - Første mikroprosessor
+* **2020** - Der i er i dag med nanoelektronikk
+
+Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal. 
+Skal dobles hver 18-24 måneder.
+
+### Halvledere
+
+![Oversikt over halvledere, metaller og isolatorer](./figures/conductivity.png)
+
+### Atomer og elektroner
+
+#### Uskarphetsrelasjonen
+
+$$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
+
+#### Paulti prinsippet
+
+> To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.
+
+#### Schrödingers likning
+
+
+$$ 
+\begin{align*}
+    - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} &+ V(x)\Psi(x,t) \\
+    & = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
+\end{align*}
+$$
+
+##### Løsninger
+
+$$ \psi(x) = Ae^{\pm ikx} \quad E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$
+
+Partikkel i en "boks".
+
+![Partikkel i en boks](figures/particleBox.png)
+
+![Tette bånd](figures/tetteBonds.png)
+
+
+### Effektiv masse
+
+$$ m^* = \frac{\hbar ^2}{\frac{d^2 E}{d k^2}} $$
+
+Ser på krumningen til energien i k-rommet.
+Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.
+
+### Intrisisk materiale 
+
+Inneholder bare en type materiale.
+
+$$ n = p = n_i $$
+
+Der $n$ er tettheten av frie elektroner i lednignsbånd (CB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
+$p$ er tettheten av hull i valensbåndet (VB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
+Og $n_i$ er den intrisiske elektrontettheten, målt i $\text{cm}^{-3}$.
+
+![Intrisisk materiale](figures/intrinsic.png)
+
+### Ekstrinsiske materialer
+
+Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale. 
+
+I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).
+
+#### n-type
+
+$$ n_0 \gg p_0,n_i $$
+
+Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
+
+#### p-type
+
+$$ p_0 \gg n_0,n_i $$
+
+Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.
+
+### Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer
+
+Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.
+
+$$ r_i = g_i $$
+$$ r_i = \alpha n_0 p_0 = \alpha n_i^2 = g_i $$
+
+![Bærertetthet](figures/dos.png)
+
+### Bærertetthet
+
+Hvordan beskrive hvordan $e^-$ og $h^+$ er fordelt i CB og VB. 
+
+$$ \delta n(E) = N(E) \cdot f(E) \cdot \delta E $$
+
+Der 
+* $\delta n(E)$ er tettheten av $e^-$ i CB.
+* $N(E)$ er mulige av elektrontilstander
+* $f(E)$ er Fermi-Dirac sannsynlighetsfordelingen
+* $\delta E$ er energidifferansen vi ser på. I tilfellet over, er det $E_g$.
+
+Finnes flere typer
+* Isotropisk båndstruktur
+* Anisotropisk båndstruktur
+
+$$ N_C(E) = 4\pi \left(\frac{2m^*}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot E^\frac{1}{2} $$
+
+
+#### Fermi-Dirac
+
+$$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp{\frac{E - E_F}{k_B T}}} $$
+
+##### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
+![Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger](figures/fermiDirac.png)
+
+I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet.
+For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.
+
+#### Frie elektroner og hull
+
+Ved å se på "summen" av elektrontilstander, $ N_C $ og sannsynligheten for å finne dem der.
+
+$$ \int_{0}^\infty f(E)N_C(E) dE $$
+
+Gir oss en likning for frie elektroner i termisk likevet.
+
+$$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N_c} e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}} $$
+
+Som forkortet, og på samme måte for $p_0$
+
+$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \quad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
+
+$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \quad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$
+
+#### Noen resultater
+
+$$ n_0 p_0 = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
+$$ n_i p_i = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
+
+Som sammen med $n_i = p_i$, gir følgende:
+
+$$ n_0 p_0 = n_i^2 $$
+
+Dette gir oss igjen
+
+$$ n_0 = n_i e^{-\frac{E_F - E_i}{k_B T}} $$
+
+$$ p_0 = n_i e^{-\frac{E_i - E_F}{k_B T}} $$
+
+
+#### Noen eksempler på bærertetthet
+
+![DOS](figures/carrierDensity.png)
+
+### Drift av ladningsbærere
+
+Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.
+
+Dersom det påtrykkes et elektrisk felt, vil partiklene fremdeles drifte, men de vi ha en netto bevegelse i en retning.
+Elektroner vil bevege seg mot feltet, og hull vil bevege seg med.
+
+Strømmen er beskrevet av følgende: 
+
+$$ J_x = q(n\mu_n + p\mu_p)E_x $$
+
+Der
+
+$$ \mu_n = \frac{q \tau}{m_n^*} \quad \text{og} \quad \mu_p = \frac{q \tau}{m_p^*} $$
+
+### Hall-effekten
+
+Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.
+
+![Hall-effekten](figures/HallEffect.png)
+
+Vi bruker Lortenz kraften, gitt som under:
+
+$$ \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}\right)$$
+
+Ved påtrykt strømm, $J_x$ og magnetfelt $B$ vil det settes opp et elektrisk felt mellom kontaktene A og B.
+
+La halvlederen være en p-type, da vil, pga. Lorenz-kraften gjøre at hull beveger seg mot kontakten A. Og dermed lage et målbart elektrisk felt fra A til B.
+
+Motsatt felt for n-type med samme strøm og magnetfelt.
+
+Tettheten vil da være gitt som under.
+
+$$ E_y = \frac{J_x}{qp_0}B_z = R_H J_x B_z $$
+
+$$ R_H \equiv \frac{1}{qp_0} $$
+
+Som gir følgende
+
+$$ p_0 = \frac{I_x B_z}{q t V_{AB}} $$
+
+### Diffusjon
+
+Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.
+
+> Diffusjon er å utligne konsentrasjonsforskjeller over tid, ved bruk av en tilfeldig prosess.
+
+To viktige parameter i diffusjon:
+* Spredningstiden $\tau$, gjennomsnittlig spredningsintervall
+* Spredningslengden $\bar{l}$, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger
+
+#### Elektronfluxen gitt av diffusjon
+
+For elektroner:
+
+$$ \phi_n(x) = -D_n \frac{dn(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
+
+For hull:
+
+$$ \phi_p(x) = -D_p \frac{dp(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$
+
+$D_n$ og $D_p$ kalles diffusjonskonstantene.
+
+#### Strømmen gitt av diffusjon
+
+For elektroner:
+
+$$ J_n^\text{diff} = q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
+
+For hull:
+
+$$ J_p^\text{diff} = -q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
+
+#### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt
+
+For elektroner:
+
+$$ J_n(x) = q\mu_n n(x) E(x) + q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$
+
+For hull:
+
+$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$
+
+Der summen av disse gir den totale strømmen:
+
+$$ J(x) = J_n(x) + J_p(x) $$
+
+### Einsteinrealasjonen
+
+> I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.
+
+$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$
+
+Som gir:
+
+$$
+\begin{align*}
+    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\
+    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right)
+\end{align*}
+$$
+
+Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$.
+Dermed får vi Einsteinrelasjonen:
+
+$$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$
+
+
+### Kontinuitetslikningen
+
+Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.
+
+![Kontinuitet av strømmer](figures/continuityEq.png)
+ 
+$$ \frac{\partial \delta n(x,t)}{\partial t} = \phantom{-}\frac{1}{q}\frac{\partial J_n(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta n}{\tau_n} $$
+
+$$ \frac{\partial \delta p(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p} $$
+
+
+### Steady State
+
+Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.
+
+![Bit med halvleder](figures/steadyStateBar.png)
+
+Man kan videre anta at det er en konstant hulltetthet på enden med lyset.
+
+$$ \delta p(x=0) = \Delta p $$
+
+Fra diffusjon kan man anta at hullene diffunderer ut over i biten.
+Siden det ikke er noen tidsavhengighet i hullkonsentrajsonen vil diffusjonsliknignen bli:
+
+$$ \frac{d^\delta p}{dx^2} = \frac{\delta p}{D_p \tau_p} \equiv \frac{\delta p}{L_p^2} $$
+
+Der $ L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p} $.
+
+Denne har en generell løsning:
+
+$$ \delta p = C_1 \exp{\frac{x}{L_p}} + C_2 \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
+
+Og med grensebetingelser, $\delta p(x=0) = \Delta p$ og $\delta p(x \rightarrow \infty) = 0$, gir det oss:
+
+$$ \delta p(x) = \Delta p \exp{\frac{-x}{L_p}} $$
+
+
+### Haynes-Shockley eksperimentet
+
+Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.
+
+![Haynes-Shockley Teori](figures/haynes-ShockleyTheory.png)
+
+Vi bruker prinsippet om steady state for å finne mobiliteten til minoritetsladningsbærere og diffusjonskonstanten.
+
+Ved å trykke på en strøm på ene siden, vil vi få et E-felt over halvlederen. 
+Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en utsmørt versjon av pulsen etter en tid $t_d$.
+
+![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png)
+
+
+## P-N-overganger
+
+### Bakgrunn
+
+![PN biter](figures/pnNatural.png)
+
+Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale.
+Dermed ved termisk likevekt er følgende sant.
+
+$$ \frac{d E_F}{ d x} = 0 $$
+
+$$ n_n \gg n_p $$
+
+$$ p_p \gg p_n $$
+
+Når bitene med dopet silisium blir satt sammen, vil det settes opp et overgangsområde.
+
+![PN satt sammen](figures/pnSammen.png)
+
+![PN tegning](figures/pnTegning.png)
+
+For å analysere dette, gjøres det noen forenklinger
+
+1. Stegovergang, skarp p-n-overgang
+2. 1D analyse av ladningstransport
+3. E-feltet er satt til 0 utenfor overgangsområdet
+4. Deplesjonstilnærming
+
+![PN ladning](figures/pn-ladning.png)
+
+![PN E-felt](figures/pn-efelt.png)
+
+### Noen viktige prinsipper
+
+#### Gauss' lov
+
+$$ \frac{d E(x)}{dx} = \frac{q}{\epsilon}\cdot [p(x) - n(x) + N_d^+ - N_a^-] $$
+
+#### Deplesjonstilnærming
+
+$$
+\begin{align*}
+    p(x) = n(x) &= 0 \quad \text{innenfor }W \\
+    \rho(x)     &= 0 \quad \text{utnfor }W  
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\begin{align*} 
+    \frac{d E(x)}{dx} &=  \phantom{-}\frac{q}{\epsilon}N_d^+ \quad \text{for } 0 < x < x_{n0} \\
+    \frac{d E(x)}{dx} &=  -\frac{q}{\epsilon}N_a^- \quad \text{for } -x_{p0} < x < 0
+\end{align*} 
+$$
+
+### Bredden av deplesjonsområdet
+
+Ved å sette sammen deplesjnstilnærmingen og Guass' sammen får vi et uttrykk for spenningen og bredden på deplesjonsområdet.
+
+$$ V_0 = \frac{1}{2}E_0 W $$
+
+Der $E_0 = N_d x_{n0} = N_a x_{p0}$.
+
+Som igjen gir
+
+$$ V_0 = \frac{1}{2}\frac{q}{\epsilon}\frac{N_a N_d}{N_a + N_d} W^2 $$
+ 
+Som vi løser for $W$ og får,
+
+$$ W = \sqrt{\frac{2\epsilon V_0}{q} \cdot \left(\frac{1}{N_a}+ \frac{1}{N_d}\right)} $$
+
+
+### Forspent overgang
+
+> Positiv forspenning er definert som å koble positiv terminal til p-siden og - til n-siden.
+> Negativ forspenning er det motsatte.
+
+Forspenningen vil ha alt spenningsfallet over deplesjonsområdet $W$. 
+Med andre ord vil E-feltet endre størrelse med forspenningen.
+Desto større negativ forspenning, desto større E-felt (opp til et visst punkt).
+For positive forspenninger vil vi minke E-feltet med økt positiv forspenning.
+
+![Forspent p-n-overgang](figures/biasPN.png)
+
+### Kvalitativ analyse
+
+![Steady State p-n-overgang](figures/steadyStatePN.png)
+
+![Steady State p-n-overgang](figures/pnSteady.png)
+
+Vi kan nå evaluere hullstrømmen.
+
+$$ I_p(x_n) = -qAD_p \frac{d \delta p(x_n)}{d x_n} = qA\frac{D_p}{L_p} \delta p(x_n) $$
+
+Der strømmen inn i deplesjonsområdet er gitt ved
+
+$$ 
+\begin{align*}
+    I_p(x_n = 0)    &= qA\frac{D_p}{L_p}\Delta p_n \\
+                    &= qA\frac{D_p}{L_p} p_n \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] 
+\end{align*}
+$$
+
+For elektroner, er det et minustegn foran, som skifter retningen, men ellers helt lik.
+
+$$ 
+\begin{align*}
+    I_n(x_p = 0)    &= -qA\frac{D_n}{L_n}\Delta n_p \\
+                    &= -qA\frac{D_n}{L_n} n_p \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] 
+\end{align*}
+$$
+
+Videre bruker vi enda en forenkling:
+
+**S6** All strømmen som sendes inn i deplesjonsområdet vil ende opp på andre siden.
+
+$$
+\begin{align*}
+    I_p(x_p = 0)&= I_p(x_n = 0) \\ 
+    I_n(x_p = 0)&= I_n(x_n = 0)
+\end{align*}
+$$
+
+Dette gir oss en total strøm:
+
+$$ I = I_p (x_n = 0) + \left(-I_n(x_p = 0)\right) $$ 
+ 
+Setter alt sammen og får "diodelikningen":
+
+$$ I = qA\left[ \frac{D_p}{L_p}p_{n0} + \frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right] \cdot \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right] $$
+
+Dersom vi setter $I_0\equiv\left[ \frac{D_p}{L_p}p_{n0} + \frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right]$, kan vi skrive:
+
+$$ I = I_0 \left[\exp{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right]  $$
+
+#### Alternativ måte å løse denne på
+
+Den baserer seg på at det finnes ladninger på hver side av deplesjonsområdet.
+Det er da mulig å integrere over ladningene og se på gradienten ved $x_p = x_n = 0$.
+
+![Alternativ måte å løse likningen på](figures/alternateDiodeEq.png)
+
+### Sammenbruddsdioder
+
+Dersom man reversforspenner (negativ forspenning) så vil situasjonen der dioden får et sammenbrudd skje.
+Sammenbruddet er kun elektronisk og ikke skadelig for dioden, med mindre man setter på veldig mye negativ forspenning.
+
+![Sammenbrudd](figures/breakdown.png)
+
+
+#### *Zener*sammenbrudd
+
+Et Zenersammenbrudd baserer seg på kvantetunnelering mellom energibåndene i dioden. 
+Elektronene kan da "hoppe" fra valensbåndet til ledningsbåndet.
+
+![Zener](figures/zener.png)
+
+#### Avalanche Breakdown (Skredsammenbrudd?)
+
+Baserer seg på at ved et stort E-felt i sperreretning vil elektroner få stor hastighet. 
+Når elektronene treffer et atom el. vil den kunne "sparke løs" et annet elektron-hull-par.
+Dette medfører at det nå er to elektroner i ene retningen og to hull i andre retningen. 
+
+![Avalanche Breakdown](figures/avalanche.png)
+
+
+### Transienter i en p-n-overgang
+
+#### Stegtransient
+
+Vi vil se på tilfellet der vi skrur av strømmen abrupt ved $t=0$.
+
+Kommer tilbake til dette...
+
+
+### Forskjellige typer p-n-overganger
+
+Også sees på senere
+
+## Felt Effekt Transistorer (FET)
+
+### Historie
+
+* **1915** - Første radiorør
+* **1926** - Patent på en CuS FET
+* **1934** - Design av en FET
+* **1947** - Den første transistoren ble laget
+* **1954** - Første transistor i Si
+* **1959** - Første IC
+* **1960** - Første MOSFET
+* **1971** - Intel kom med første komersielle mikroprosessor, Intel 4004
+
+### Forskjellige typer FET
+
+#### JFET
+
+JFET (Junction Field Effect Transistor), fungerer ved å styre/modulere bredden på deplesjonsområdet på en revers forspent p-n-overgang, ved hjelp av en påsatt spenning $V_G$.
+Dette medfører at vi kan kontrollere strømmen mellom kilde (source) og brønn (drain) kontaktene.
+
+![JFET](figures/JFET.png)
+
+#### MESFET
+
+Fungerer på samme måte som en JFET, men styrer bredden på deplesjonsområdet i en Schottky diode.
+Dette er derfor en Metall-Silisium overgang (M-S overgang).
+
+![MESFET](figures/MESFET.png)
+
+#### MOSFET
+
+Dette er den mest brukte transistoren i dag.
+Her er gate-kontakten elektrisk separert fra resten av transistoren med et isolerende lag.
+Transistoren fungerer da ved å sette opp mellom gate og substratet i transistoren for å lage en elektrisk ledene kanal mellom kilde og brønnkontaktene.
+Det er derfor den har navnet MOSFET, Metal-Oksid-Silikon Felt Effekt Transistor (Metal-Oxide-Silicon Field Effect Transistor).
+
+![MOSFET](figures/MOSFET.png)
+
+
+### Fordeler med FET over BJT
+
+* Høy inngangsimpedanse.
+  * I JFET er det pga. en revers forspend p-n-overgang.
+  * I MESFET er det pga. en revers forspent m-s-overgang.
+  * I MOSFET er det pga. en isolator mellom gate og resten av transistoren.
+* Veldig god som en bryter for å styre mellom en ledende tilstand og en ikke ledende tilstand.
+* Negativ temperaturkoeffisient ved store strømmer, som gjør den veldig stabil.
+* Har ingen lagring av minoritetsladningsbærere, som fører til ingen uønsket kapasitanse.
+* Har høyere endringshastighet (switching speed) enn en vanlig BJT.
+
+
+### Virkemåte til en transistor
+
+En transistor har i prinsippet to funksjoner:
+
+1. Forsterkning av små AC-signaler.
+2. Som en bryter, for å styre en strøm.
+
+![Virkemåte Transistor](figures/virkemåteTransistor.png)
+
+#### I-V-kurve
+
+Strømmen til en transistor kan beskrives med spenningen over transistoren.
+
+$$ i_D = f(v_D)$$
+
+Der lastlinjen er definert som
+
+$$ i_D = \frac{E}{R} - \frac{v_D}{R} $$
+
+For en komponent med to terminaler vil vi kun ha disse likningene, men for en komponent med tre poler kan vi også styre hvordan $f(v_D)$ fungerer ved hjelp av $v_G$.
+
+### JFET
+
+[Animasjon av JFET](http://www-g.eng.cam.ac.uk/mmg/teaching/linearcircuits/jfet.html)
+
+![JFET sett fra siden](figures/JEFT_Zoom.png)
+
+En JFET er bygget opp av et lett dopet n-materiale og et tungt dopet p-materiale.
+Vi får da et deplesjonsorådet mellom disse to, og det er dette vi styrer ved å sette på en spenning på gate-/portterminalen, $v_G$.
+
+![JFET forenklet](figures/JFET_Analysis.png)
+
+Det er mulig å "fjerne" bitene med terminalene og kun se på overgangen, med portterminalen.
+For en liten strøm $i_D$ vil spenningen over transistoren, $v_D$, avta monotont og lineært.
+
+
+
+#### Pinch-off
+
+![Pinch off JFET](figures/JEFT_pinchoff.png)
+
+Vi antar det er et neglisjerbart spenningsfall fra kilde- til brønn kontakten. Vi kobler også porten (gate) til jord, $v_G 
+
+For en liten strøm $i_D$, vi bredden på det ledende $n^+$-området være tilnærmet konstant.
+
+Ved å øke strømmen $I_D$, spenningen over transistoren, $V_D$, og bredden på deplesjonsområdet ved slukkontakten, $W_D = W(x=0)$, øke.
+
+Ved kildekontakten vil bredden på deplesjonsområdet, $W_S = W(x=L)$, være tilnærmet uendet.
+Spenningen fra port til kanalen, $V_x$, vil endre seg med $x$ gjennom transistoren.
+
+Spenningen over deplesjonsområdet er nå $V_{GD} = -V_D$ og $V_{GS} = 0$. 
+$V_{GD}$ øker med $i_D$, helt til deplesjonsområdet dekker hele bredden av kanalen og vi har oppnådd "pinch-off".
+
+Strømmen blir sublineær og går over mot metning. Da er det kun spenningen på porten som styrer strømmen gjennom transistoren.
+
+Dette ligner veldig på å revers forspenne en p-n-overgang.
+
+#### Portkontroll
+
+Dersom vi er i metningsområdet, kan vi kontrollere strømmen gjennom transistoren ved hjelp av spenningen på porten.
+
+Ved å sette $V_{GS} < 0$V kan vi minke strømmen gjennom transistoren, ved å gjøre "pinch-off" større/lengere.
+
+Vi kan da regne ut bredden av deplesjonsområdet.
+
+![Bredde av deplesjon i JFET](figures/JFET-GateControl.png)
+
+Vi kan da bruke bredden av en p-n-overgang til å beregne dette:
+
+$$ W(x=0) = \sqrt{\frac{2\epsilon(-V_{GD})}{qN_d}} $$
+
+Pinch off skjer i enden med slukkontakten, med en kombinasjon av $V_G$ og $V_D$.
+Vi har også at bredden på kanalen er gitt ved:
+
+$$ h(x=0) = a - W(x=0) $$
+
+I pinch off har vi $-V_{GD} \equiv V_P$. Vi får da:
+
+$$ \sqrt{\frac{2\epsilon V_P}{qN_d}} = a $$
+
+$$ \Rightarrow\quad V_P = \frac{q a^2 N_d}{2\epsilon} $$
+
+
+Ved å integrere over området, kan vi finne strømmen gjennom transistoren:
+
+$$ I_D = g_m V_G$$
+
+Der vi har definert transkonduktansen som:
+
+$$
+\begin{align*}
+    g_m &= \frac{\partial I_D(sat.)}{\partial V_G} \\
+    &= G_0 \left[1-\left(-\frac{V_G}{V_P}\right)^\frac{1}{2}\right]
+\end{align*}
+$$
+
+Der vi bruker $G_0 \equiv \frac{2aZ}{\rho L}$.
+
+
+## MOSFET
+
+![MOSFET](figures/MOSFET.png)
+
+### Bakgrunn
+
+Mest brukte transistoren i bruk i dag.
+
+Dette er fordi den er veldig allsidig i sin bruk, lett å integrere og er billig å produsere.
+
+Det finens to typer MOSFET.
+
+* **Enchancement mode** eller **n-channel MOS** (forkortet **nMOS**).
+  * God til å trekke signalet mot "OFF".
+* **Depletion mode** eller **p-channel MOS** (forkortet **pMOS**).
+  * Gid til å trekke signalet mot "ON".
+
+Tilsammen utgjør de **cMOS**, som er **complimentary MOS**. 
+
+### Ideell MOS kondensator
+
+![Ideell MOS](figures/idealMOS.png)
+
+$$
+\begin{align*}
+    Q_d &= qN_A W_m \\
+        &= -2 \sqrt{\epsilon_s q N_A \Phi_F} \\
+        &= 2 \sqrt{\epsilon_s N_a k_B T \ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)}
+\end{align*}
+$$
+
+#### Arbeidsfunksjon
+
+Metall-Oksid-overgangen:
+
+$$ q\Phi_m = oxide\ CB_{min} -E_{F_m} $$
+
+Oksid-Silikon-overgangen:
+
+$$ q\Phi_s = oxide\ CB_{min} -E_{F_s} $$ 
+
+I en ideell MOS:
+
+$$ \Phi_m \equiv \Phi_s $$
+
+Definerer deretter et potensiale, $\phi_f \equiv \frac{E_i - E_{F_s}}{q}$, som beskiver dopingen til silikonet.
+
+#### Sterk inversjon
+
+Sterk inversjon er definert når et p-type materiale er like mye n-type som p-type.
+
+Maksimal deplesjonsbredde:
+
+$$ W_m = \sqrt{\frac{2 \epsilon_s \phi_s}{q N_a}} $$ 
+
+Sterk inversjon når:
+
+$$ \phi_s = 2\phi_F = 2\frac{k_B T}{q} \ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$$ 
+
+
+#### Terskelspenning
+
+Terskelspenningen er da gitt ved:
+
+$$ V_T = -\frac{Q_d}{C_i} + 2\phi_F $$ 
+
+#### Effektive arbeidsfunksjoner
+
+For "flat band contitions", $\phi_s=0$, må vi sette på en spenning $V_{FB}$.
+
+$$ V_{FB} = \Phi_{ms} = \Phi_{m} - \Phi_{s} $$
+
+For reelle MOS, vil vi få noen bidrag fra urenheter og unøyaktigheter.
+
+$$ V_{FB} = \Phi_{ms} -\frac{Q_i}{C_i} $$
+
+$$ V_T = \Phi_{ms} -\frac{Q_i}{C_i} -\frac{Q_d}{C_i} + 2\phi_F $$ 
+
+
+#### Forspenning på substratet
+
+Ved å sette på en spenning på substratet eller bulken, kan vi endre på oppførselen og terskelspenningen til transistoren.
+
+$$ V_T' = \Phi_{ms} -\frac{Q_i}{C_i} -\frac{Q_d'}{C_i} + 2\phi_F $$ 
+
+Der
+
+$$ Q_d' = -\sqrt{2\epsilon_s q N_a (2\phi_F - V_B)} $$
+
+
+## Bipolar transistor
+
+### Virkemåte
+
+Baserer seg på strømmen av minoritetsladninger. Den styres av rekombinasjonen av elektron og hull i baseområdet.
+
+Collectorstrømmen er basert på hull som diffunderer gjennom transistoren. 
+
+![BJT currents](figures/BJT_Carriers.png)
+
+![BJT Minority Charge](figures/monirityDist.png)
+
+### Forenklinger (for p$^+$-n-p)
+
+1. Injeserte hull i basen beveger seg fra B -> E bare ved hjelp av diffusjon. 
+2. Emitterstrømmen er bare strømmen fra injeserte hull i emitter. Krever en p$^+$-n-overgang.
+3. Den reverse metningsstrømmen i collectorkontaken kan neglisjeres.
+4. Generasjon/rekominasjon i emitter/collector er neglisjerbare (ideell diode).
+5. Uniform strøm gjennom overgangene. Strømmen beveger seg ish bare i en retning.
+6. Alle strømmer og spenninger er Steady State.
+
+### Operasjon
+
+![BJT operation modes](figures/BJTFourModes.png)
+
+
+