---
title: "Oppsumering av TFE4146"
description: Oppsummering av faget TFE4146 høsten 2020.
math: true
date: 2020-11-20
---

{% include utilities/toc.html %}

## Grunnleggende om halvledere

### Historie

* **1830** - Mekanisk
* **1944** - Elektromekanisk
* **1946** - Releer og radiorør
* **1948** - Transistor
* **1958** - Første IC
* **1971** - Første mikroprosessor
* **2020** - Der i er i dag med nanoelektronikk

Moores lov forutser hvor mange transistorer det er plass til per areal. 
Skal dobles hver 18-24 måneder.

### Halvledere

![Oversikt over halvledere, metaller og isolatorer](./figures/conductivity.png)

### Atomer og elektroner

#### Uskarphetsrelasjonen

$$ \Delta x \cdot \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$

#### Paulti prinsippet

> To like fermioner kan ikke ha den samme kvantetilstanden.

#### Schrödingers likning


$$ - \frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t) = -\frac{\hbar}{j}\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} $$

##### Løsninger

$$ \psi(x) = Ae^{\pm ikx} \quad E= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$

Partikkel i en "boks".

![Partikkel i en boks](figures/particleBox.png)

![Tette bånd](figures/tetteBonds.png)


### Effektiv masse

$$ m^* = \frac{\hbar ^2}{\frac{d^2 E}{d k^2}} $$

Ser på krumningen til energien i k-rommet.
Høy kromming er liten effektiv masse, og vica versa.

### Intrisisk materiale 

Inneholder bare en type materiale.

$$ n = p = n_i $$

Der $n$ er tettheten av frie elektroner i lednignsbånd (CB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
$p$ er tettheten av hull i valensbåndet (VB), målt i $\text{cm}^{-3}$.
Og $n_i$ er den intrisiske elektrontettheten, målt i $\text{cm}^{-3}$.

![Intrisisk materiale](figures/intrinsic.png)

### Ekstrinsiske materialer

Disse er intrinsiske materialer som er dopet med et donor eller akseptor materiale. 

I Si er det typisk As (Arsenik, donor), eller B (Bor, akseptor).

#### n-type

$$ n_0 \gg p_0,n_i $$

Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.

#### p-type

$$ p_0 \gg n_0,n_i $$

Der $n_0$ er elektrontettheten i termisk likevekt.

### Elektron-Hull-par i intrinsiske materialer

Elektroner og hull genereres og rekominerer kontinuerlig.

$$ r_i = g_i $$
$$ r_i = \alpha n_0 p_0 = \alpha n_i^2 = g_i $$

![Bærertetthet](figures/dos.png)

### Bærertetthet

Hvordan beskrive hvordan $e^-$ og $h^+$ er fordelt i CB og VB. 

$$ \delta n(E) = N(E) \cdot f(E) \cdot \delta E $$

Der 
* $\delta n(E)$ er tettheten av $e^-$ i CB.
* $N(E)$ er mulige av elektrontilstander
* $f(E)$ er Fermi-Dirac sannsynlighetsfordelingen
* $\delta E$ er energidifferansen vi ser på. I tilfellet over, er det $E_g$.

Finnes flere typer
* Isotropisk båndstruktur
* Anisotropisk båndstruktur

$$ N_C(E) = 4\pi \left(\frac{2m^*}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot E^\frac{1}{2} $$


#### Fermi-Dirac

$$ f(E) = \frac{1}{1 + \exp{\frac{E - E_F}{k_B T}}} $$

##### Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger
![Fermi-Dirac ved forskjellige dopinger](figures/fermiDirac.png)

I et intrinsisk materiale ligger fordelingen midt i båndapet.
For en n-type doping vil fordelingen bevege seg mot CB, og i p-type vil den bevege seg mot VB.

#### Frie elektroner og hull

Ved å se på "summen" av elektrontilstander, $ N_C $ og sannsynligheten for å finne dem der.

$$ \int_{0}^\infty f(E)N_C(E) dE $$

Gir oss en likning for frie elektroner i termisk likevet.

$$ n_0 = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2}}_{N_c} e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}} $$

Som forkortet, og på samme måte for $p_0$

$$ n_0 = N_c e^{-\frac{E_C - E_F}{k_B T}}, \qquad N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$

$$ p_0 = N_v e^{-\frac{E_F - E_V}{k_B T}}, \qquad N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^\frac{3}{2} $$

#### Noen resultater

$$ n_0 p_0 = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$
$$ n_i p_i = N_c N_v e^{-\frac{E_g}{k_B T}} $$

Som sammen med $n_i = p_i$, gir følgende:

$$ n_0 p_0 = n_i^2 $$

Dette gir oss igjen

$$ n_0 = n_i e^{-\frac{E_F - E_i}{k_B T}} $$

$$ p_0 = n_i e^{-\frac{E_i - E_F}{k_B T}} $$


#### Noen eksempler på bærertetthet

![DOS](figures/carrierDensity.png)

### Drift av ladningsbærere

Drifter i alle retninger, ikke noen som er preferert. Litt som en biesverm.

Dersom det påtrykkes et elektrisk felt, vil partiklene fremdeles drifte, men de vi ha en netto bevegelse i en retning.
Elektroner vil bevege seg mot feltet, og hull vil bevege seg med.

Strømmen er beskrevet av følgende: 

$$ J_x = q(n\mu_n + p\mu_p)E_x $$

Der

$$ \mu_n = \frac{q \tau}{m_n^*} \quad \text{og} \quad \mu_p = \frac{q \tau}{m_p^*} $$

### Hall-effekten

Halleffekten kan brukes til å se på mobiliteten til majoritetsladningsbærerene. F.eks. hull i p-type er majoritetsladningsbærere.

![Hall-effekten](figures/HallEffect.png)

Vi bruker Lortenz kraften, gitt som under:

$$ \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}\right)$$

Ved påtrykt strømm, $J_x$ og magnetfelt $B$ vil det settes opp et elektrisk felt mellom kontaktene A og B.

La halvlederen være en p-type, da vil, pga. Lorenz-kraften gjøre at hull beveger seg mot kontakten A. Og dermed lage et målbart elektrisk felt fra A til B.

Motsatt felt for n-type med samme strøm og magnetfelt.

Tettheten vil da være gitt som under.

$$ E_y = \frac{J_x}{qp_0}B_z = R_H J_x B_z $$

$$ R_H \equiv \frac{1}{qp_0} $$

Som gir følgende

$$ p_0 = \frac{I_x B_z}{q t V_{AB}} $$

### Diffusjon

Natrulig prosess , som å blande melk i kaffe/te eller hvordan oksygen tas opp i kroppen.

> Diffusjon er å utligne konsentrasjonsforskjeller over tid, ved bruk av en tilfeldig prosess.

To viktige parameter i diffusjon:
* Spredningstiden $\tau$, gjennomsnittlig spredningsintervall
* Spredningslengden $\bar{l}$, gjennomsnittlig lengde mellom spredninger

#### Elektronfluxen gitt av diffusjon

For elektroner:

$$ \phi_n(x) = -D_n \frac{dn(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$

For hull:

$$ \phi_p(x) = -D_p \frac{dp(x)}{dx}, \quad \text{der } D_n = \frac{\bar{l}^2}{2\tau} $$

$D_n$ og $D_p$ kalles diffusjonskonstantene.

#### Strømmen gitt av diffusjon

For elektroner:

$$ J_n^\text{diff} = q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$

For hull:

$$ J_p^\text{diff} = -q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$

#### Strømmen gitt av diffusjon med påsatt elektrisk felt

For elektroner:

$$ J_n(x) = q\mu_n n(x) E(x) + q D_n \frac{dn(x)}{dx} $$

For hull:

$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} $$

Der summen av disse gir den totale strømmen:

$$ J(x) = J_n(x) + J_p(x) $$

### Einsteinrealasjonen

> I termisk likevekt går det ingen netto strøm. Dermed må det settes opp et E-felt for å kompensere driftsstrømmen.

$$ J_p(x) = q\mu_p p(x) E(x) - q D_p \frac{dp(x)}{dx} = 0 $$

Som gir:

\begin{align\*}
    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{p_0(x)}\cdot \frac{dp(x)}{dx} \\\\\
    E(x) &= \frac{D_p}{\mu_p}\cdot \frac{1}{k_B T}\left(\frac{dE_i(x)}{dx} - \frac{dE_F(x)}{dx} \right)
\end{align\*}

Ved termisk likevekt er $\frac{dE_F(x)}{dx} = 0$ og $\frac{dE_i(x)}{dx} = qE(x)$.
Dermed får vi Einsteinrelasjonen:

$$ \frac{D}{\mu} = \frac{k_B T}{q} $$


### Kontinuitetslikningen

Viser sammenheng mellom endring i hulltetthet og strømmenm gjennom et areale.

![Kontinuitet av strømmer](figures/continuityEq.png)
 
$$ \frac{\partial \delta n(x,t)}{\partial t} = \phantom{-}\frac{1}{q}\frac{\partial J_n(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta n}{\tau_n} $$

$$ \frac{\partial \delta p(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p} $$


### Steady State

Anta det lyses, med konstant effekt, på ene enden av en bit med n-type halvleder.

![Bit med halvleder](figures/steadyStateBar.png)

Man kan videre anta at det er en konstant hulltetthet på enden med lyset.

$$ \delta p(x=0) = \Delta p $$

Fra diffusjon kan man anta at hullene diffunderer ut over i biten.
Siden det ikke er noen tidsavhengighet i hullkonsentrajsonen vil diffusjonsliknignen bli:

$$ \frac{d^\delta p}{dx^2} = \frac{\delta p}{D_p \tau_p} \equiv \frac{\delta p}{L_p^2} $$

Der $ L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p} $.

Denne har en generell løsning:

$$ \delta p = C_1 \exp{\frac{x}{L_p}} + C_2 \exp{\frac{-x}{L_p}} $$

Og med grensebetingelser, $\delta p(x=0) = \Delta p$ og $\delta p(x \rightarrow \infty) = 0$, gir det oss:

$$ \delta p(x) = \Delta p \exp{\frac{-x}{L_p}} $$


### Haynes-Shockley eksperimentet

Eksperiment som gir informasjon om minoritetsladningsbærere.

![Haynes-Shockley Teori](figures/haynes-ShockleyTheory.png)

Vi bruker prinsippet om steady state for å finne mobiliteten til minoritetsladningsbærere og diffusjonskonstanten.

Ved å trykke på en strøm på ene siden, vil vi få et E-felt over halvlederen. 
Ved å deretter sende inn en lyspuls på ene enden, vil det kunne detekteres en utsmørt versjon av pulsen etter en tid $t_d$.

![Haynes-Shockley Eksperiment](figures/haynes-ShockleyExp.png)


## PN-overganger

Vi vet at bitene i ugangspunlket er nøytrale.
Dermed ved termisk likevekt er følgende sant.

$$ \frac{d E_F}{ d x} = 0 $$

$$ n_n \gg n_p $$

$$ p_p \gg p_n $$