%Dokumentinnstillinger:---------------------------------
\documentclass[11pt,norsk]{elsys-design}


\heading{Designnotat}
\title{Bufferkrets}
\author{Øyvind Skaaden}
\version{2.0}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

%Automatisk generert innholdsfortegnelse:------------------
\toc

%Selve rapporten:------------------------------------------
\section{Problembeskrivelse}
\label{sec:innledning}

I mange situasjoner klarer ikke en signalkilde å levere nok strøm til en last. 
Spenningsnivået er høyt nok, men lasten krever en viss effekt, og da må den leverte strømstyrken også være tilstrekkelig.
I slike tilfeller trengs en buffer, det vil si et system med en inngang $v_1$ og en utgang $v_2$ som kobles mellom kilde og last som vist i \autoref{fig:problem}.

\begin{figure}[!htbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Figurer/D6Problem.pdf}
	\caption{Blokkdiagram for systemet med en buffer.}
	\label{fig:problem}
\end{figure}

I mange tilfeller kan problemet lett løses ved å bruke en operasjonsforsterker,
men i tilfeller hvor tilgjengelige operasjonsforsterker ikke kan gi tilstrekkelig effekt, ikke har stor nok båndbredde eller av andre grunner ikke oppfyller tilleggskrav i problemstillingen, er det aktuelt å designe en buffer ved hjelp av diskrete komponenter (transistorer, motstander, kondensatorer) som da kan oppnå ønsket effekt eller båndbredde.

Vi vil derfor lage et design på en buffer som baserer seg på diskete komponenter, slik at vi kan drive en større last, levere mer strøm eller høyere effekt.

\section{Prinsipiell løsning}
\label{sec:prinsipielllosning}

For å lage en transistorbasert buffer, kan vi starte med kretsen i \autoref{fig:buffer}. Den baserer seg på en NPN-transistor, og kretstopologien er en forenklet emitter-følger. Kretsen kan konfigureres slik at inngangsmotstanden er tilstrekkelig stor og utgangsmotstanden er tilstrekkelig liten. Dette er ønskelig om vi skal drive en større last og bruke en kilde som har en større eller ikke ideell utgangsmotstand. Kretstopologien har også den viktige egenskapen for en buffer, som er at forsterkningsfaktoren er på ca 1, altså det kommer det samme ut som inn.

\begin{figure}[!hbtp]
    \centering
    \begin{circuitikz}
   		\draw
		(0,0) 		node 	[npn] (npn1) 			{}
		(npn1.C) 	to 		[short, -*] ++(0,1) 	coordinate(top)
		-- ++(1,0) 	node 	[midway, above] 		{$V_{CC}$}

		(npn1.B) 	to 		[short, i<_=$I_B$] 		++(-0.1,0) node[below] {$V_B$} 
					--		++(-1,0)				coordinate (base)
					to 		[R, l_=$R_B$, *-] 		(base|-top) -- (top)
		(base) 		to 		[C, l=$C_1$,-o] 		++(-2,0) node[left] {$V_1$}

		(npn1.E)	-- 		++(0,-.25)
					to 		[short,i<_=$I_E$] 		++(0,0) node[left] {$V_E$} 
					--		++(0,-.75)				coordinate(emitter)
		(emitter)	to 		[R, l=$R_E$, *-] 		++ (0,-2) node[ground] {}
		(emitter) 	--		++(.5,0)
					to 		[C, l=$C_2$, -o] 		++(2,0) node [right] {$V_2$}

		(npn1.C) 	to 		[short, i<_=$I_C$] 		(npn1.C) node[left] {$V_C$}
		;
    \end{circuitikz}
    \caption{kretstopologi av en buffer, konfigurert som en emitter-følger.}
    \label{fig:buffer}
\end{figure}

For at vi skal kunne bruke den største mulige amplituden på inngangen $V_1 $ må vi velge arbeidspunktene nøye. 
Vi velger arbeidspunktet $V_E$, \eqref{eq:V_E}, basert på at arbeidspunktet $V_{BE}$ slik at vi har like mye spenning opp til $V_{CC}$ som ned til terskelspenningen $V_{BE}$.

\begin{align}
	V_E = \frac{V_{CC} - V_{BE}}{2} = R_E \cdot I_E \label{eq:V_E}
\end{align}

Dermed blir spenningen $V_B$ som i \eqref{eq:V_B}, gitt at spenningsfallet over $V_{BE}$, fordi vi bruker en npn-transistor.

\begin{align}
	V_B = V_E + V_{BE} = \frac{V_{CC} + V_{BE}}{2} = V_{CC} - I_B \cdot R_B \label{eq:V_B}
\end{align}

En NPN-transistor har også egenskapen at $I_C = I_B \cdot \beta $, der $\beta$ er forsterkningsfaktoren til transistoren og $I_B$ er basestrømmen gitt ved \eqref{eq:I_B}. Dermed får vi \eqref{eq:I_E} for strømmen $I_E$. 

\begin{align}
	I_B = \frac{V_{CC} - V_B}{R_B} \label{eq:I_B}
\end{align}
\begin{align}
	I_E = I_B + I_B \cdot \beta = I_B \left(1 + \beta\right) = \frac{V_{CC} - V_B}{R_B} \left(1 + \beta\right)\label{eq:I_E}
\end{align}

Setter vi \eqref{eq:I_E} inn i \eqref{eq:V_E}, og løser for $R_B$ for vi sammenhengen mellom $R_E$ og $R_B$ i .

\begin{align}
	R_B = R_E \cdot \frac{V_{CC} - \left(V_E + V_{BE}\right)}{V_E}\cdot\left(1 + \beta\right) \label{eq:R_B}
\end{align}

Ut i fra dette ser vi at $ R_B >> R_E$.

For å se at forsterkningsfaktoren blir riktig, kan vi se på småsignalsjemaet for kretsen.

\begin{figure}[!hbtp]
    \centering
    \begin{circuitikz}
   		\draw
   		(0,0) coordinate(v1)
		(v1) 	to 		[open, v_=$v_1$] 					++(0,-2)
		(v1) 	to 		[short, o-] 						++(1,0) 	coordinate(p1)
				to 		[R, l=$R_B$] 						++(0,-2) 	coordinate(g1)
				to 		[short, -o] 						++(-1,0)
		(g1) 	-- 											++(2,0) 	coordinate(g2)
				to 		[cisource, l_=$i_b\beta$, i_=$i_c$] ++(0,2) 	coordinate(p2)
				to 		[R, l_=$r_\pi$, i<_=$i_b$] 			++(-2,0) 
		(p2) 	to 		[short, i=$i_e$] 					++(2,0) 	coordinate(p3)
				to 		[R, l=$R_E$] 						++(0,-2) 	coordinate(g3)
				-- 											(g2) 
		(g3) 	to 		[short, -o] 						++(2,0) 	coordinate(g4)
		(p3) 	to 		[short, -o] 						++(2,0) 	coordinate(p4)
		(p4) 	to 		[open, v=$v_2$] 					(g4)
		;
    \end{circuitikz}
    \caption{Småsignalskjema for kretsen i \autoref{fig:buffer}.}
    \label{fig:smaasignal}
\end{figure}

Vi ser i skjemaet i \autoref{fig:smaasignal} at vi får følgende sammenhenger. I skjemaet er det en motstand $r_\pi$ som er en slags intern motstand i transistoren, transkonduktansen. Det går kun strøm i den ene retningen, mot $v_2$, altså $i_b > 0$. Den er i ordenen noen tusen ohm, og forsterkningsfaktoren $\beta$ er i ordenen noen hundre. 

\begin{align}
	v_2 &= i_e \cdot R_E 
	\qquad \qquad
	i_e = i_b\left(1+\beta\right) \nonumber\\
	&\Rightarrow 
	v_2 = i_b\left(1+\beta\right) R_E \label{eq:v2}
\end{align}
\begin{align}
	i_b &= \frac{v_1 - v_2}{r_\pi} = \frac{v_1 - i_b\left(1+\beta\right) R_E}{r_\pi} 
	\qquad \qquad
	v_1 = i_b \cdot r_\pi + i_b\left(1+\beta\right) R_E \nonumber \\
	&\Rightarrow 
	v_1 = i_b\left(1+\beta\right) \left(\frac{r_\pi}{1 + \beta} + R_E\right) \label{eq:v1}
\end{align}

Forsterkningsfaktoren $A$ er forholdet mellom \eqref{eq:v2} of \eqref{eq:v1} som i 

\begin{align}
	A = \frac{v_2}{v_1} = \frac{i_b\left(1+\beta\right) R_E}{i_b\left(1+\beta\right) \left(\frac{r_\pi}{1 + \beta} + R_E\right)} = \frac{R_E}{\frac{r_\pi}{1 + \beta} + R_E} \label{eq:forsterkning}
\end{align}

Vi har at faktoren $R_E$ er typisk i noen hundre ohm, og $\frac{r_\pi}{1 + \beta} $ i noen titalls ohm, ser vi at forsterkningen er litt under 1.

Fra \autoref{fig:smaasignal} at inngangsmotstanden er gitt i \eqref{eq:inngangsmot}, og utgangsmotstanden er gitt i \eqref{eq:utgansmot}.
\begin{align}
	R_{inn} &= R_B || (r_\pi + R_E) = \frac{1}{\frac{1}{R_B} + \frac{1}{r_\pi + R_E}} \label{eq:inngangsmot} \\
	R_{ut} &= R_E \label{eq:utgansmot}
\end{align}


\section{Realisering og test}
\label{sec:realisering}
\subsection{Realisering}

I bufferkretsen har vi brukt transistoren BC547 \cite{trans}, som er en NPN-transistor. Den har en nominell forsterkningsfaktor på $\beta \approx 330$, og spenningsfall $V_{BE} = \SI{0.7}{\volt} $. 
Kilden har utgangsmotstand på $R_K = 6.8k\Omega$, og lastmotstand er $R_L = 330\Omega$. Spenningskilden som skal brukes leverer $V_{CC} = 9V$. 

Arbeidspunktet $V_E$ finner vi med \eqref{eq:V_E}.
\begin{align}
	V_E = \frac{\SI{9}{\volt} - \SI{0.7}{\volt}}{2} = \SI{4.15}{\volt} 
\end{align}

Vi finner forholdet mellom $R_B$ og $R_E$ ved hjelp av \eqref{eq:R_B}. 

\begin{align}
	R_B = R_E \cdot \frac{\SI{9}{\volt} - \left(\SI{4.15}{\volt} + \SI{0.7}{\volt}\right)}{\SI{4.15}{\volt}}\cdot\left(1 + 330\right) = 331\cdot R_E \label{eq:R_B_verdi}
\end{align}

Velger $R_E = \SI{1.5}{\kilo\ohm}$ for å oppnå nok inngangsmotstand. Dermed blir $R_B$ gitt ved \eqref{eq:R_B_verdi}.

\begin{align*}
	R_B = 331\cdot\SI{1.5}{\kilo\ohm} \approx \SI{500}{\kilo\ohm}
\end{align*}

Kondensatorene $C_1$ og $C_2$ trenger kun å være tilstrekkelig store, så velger $C_1 = C_2 = \SI{1}{\micro\farad} $

Den ferdige kretsen har er da gitt som i 

\begin{figure}[!hbtp]
    \centering
    \begin{circuitikz}
   		\draw
		(0,0) 		node 	[npn] (npn1) 											{}
		(npn1.C) 	to 		[short, -*] ++(0,1) 									coordinate(top)
					-- 											++(1,0) 	
					node 	[midway, above] 										{$\SI{9}{\volt}$}

		(npn1.B) 	--		++(-1,0)												coordinate (base)
					to 		[R, l_=$\SI{500}{\kilo\ohm}$, *-] 	(base|-top) 
					-- 											(top)
		(base) 		to 		[C, l=$\SI{1}{\micro\farad}$,-o] 	++(-2,0) 			node[left] {$V_1$}

		(npn1.E)																	coordinate(emitter)
		(emitter)	to 		[R, l=$\SI{1.5}{\kilo\ohm}$, *-] 		++ (0,-2) 			node[ground] {}
		(emitter) 	--											++(.5,0)
					to 		[C, l=$\SI{1}{\micro\farad}$, -o] 	++(2,0) 			node [right] {$V_2$}
		;
    \end{circuitikz}
    \caption{Ferdig bufferkrets med komponentverdier.}
    \label{fig:bufferKomponenter}
\end{figure}


\subsection{Test}

For å teste kretsen bruker vi en Analog Discovery oscilloskop for å både å levere spenning, måle signaler og generere testsignaler. 
Kretsen kobles opp som i \autoref{fig:problem}.

Ved testfrekvensen $f=\SI{1}{\kilo\hertz} $ og amplitude $A = \SI{500}{\milli\volt}$ er utgangen $V_2$, over lastmotstanden $R_L$, $1.5dB$ lavere enn inngangen $v_0$, som vist i \autoref{fig:bode}. Figuren viser også at den nedre knekkfrekvensen ligger ved $f_{\text{nedre}} = \SI{700}{\hertz}$ og øvre knekkfrekvens ved $f_{\text{øvre}} = \SI{2}{\mega\hertz}$ 

\begin{figure}[!hbtp]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{Maalinger/MaalingBode500mv.png}
	\caption{Måling av frekvensrespons til bufferkretsen fra $v_0$ til $v_2$.}
	\label{fig:bode}
\end{figure}

Vi kan også se forholdene mellom kildespenningen $V_K$, inngangsspenningen $V_1$, og utgangsspenningen $V_2$ over lastmostanden $R_L$ i \autoref{fig:osc}. Som vi ser, så er det størst demping mellom inngangen $V_1$ og utgangen $V_2$.

\begin{figure}[!hbtp]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{Maalinger/MaalingOsc500mv.png}
	\caption{Måling sinussignalene gjennom kretsen, svart er kildespenningen $V_K$, oransje er inngangsspenningen $V_1$, og blå er utgangsspenningen $V_2$ over lastmotstanden $R_L$.}
	\label{fig:osc}
\end{figure}

Kretsen begynner å klippe dersom amplituden på inngangen er større enn $\SI{800}{\milli\volt}$. Se \autoref{fig:klipp}.

\begin{figure}[!hbtp]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{Maalinger/MaalingOscKlipping.png}
	\caption{Største amplitude på inngangen $V_1$ (oransje) før utgangen $V_2$ (blå) klipper.}
	\label{fig:klipp}
\end{figure}

Den realiserte kretsen ka sees i \autoref{fig:irl}.
\begin{figure}[!hbtp]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{Figurer/krets.jpg}
	\caption{Den realiserte kretsen.}
	\label{fig:irl}
\end{figure}

\clearpage
\section{Konklusjon}
\label{sec:konklusjon}
Bufferkretsen fungerer som forventet. Signalet inn blir nogelunde likt gjennom hele kretsen og kommer ut på $v_2 $ med kun en liten demping. Det meste av dempingen ligger ved lastmotstanden. 

For å kunne ha gjort kretsen enda bedre, hadde det vært mulig å lage to etterfølgende kretser. Da ville vi hatt mer optimale inngangs- og utgangsmotstander.


%Bibliografi: Legg til flere elementer ved å legge til flere \bibitem:--------
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{section}{Referanser}
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{notat}
	Hambley, Allan R., 
	\textit{Electrical Engineering: Principles \& Applications}, 
	6th Edition, 
	Pearson,
	2014.

\bibitem{trans}
	Fairchild Semiconductor. (August, 2002). \textit{BC546/547/548/549/550}. Rev. A2, \url{https://www.sparkfun.com/datasheets/Components/BC546.pdf}


\end{thebibliography}{}

\clearpage
\appendix
%Tillegg. Flere tillegg legges til ved å lage flere sections:-----------------



\end{document}
