\documentclass[11pt,largemargins, norsk]{homework}

\newcommand{\hwname}{Øyvind Skaaden}
\newcommand{\hwemail}{oyvindps@ntnu.no}
\newcommand{\hwtype}{Øving}
\newcommand{\hwnum}{10}
\newcommand{\hwclass}{TTT4260}
\newcommand{\hwlecture}{}
\newcommand{\hwsection}{}

\renewcommand{\questiontype}{Oppgave}
\newcommand{\figref}[1]{Figur \ref{#1}}

\begin{document}
\maketitle

\question
\begin{alphaparts}
	\item
	For å finne utgangsspenningen $v_2 $ må vi først finne spenningen over $R_i $, $v_1 $. Den er 

	$$ v_1 = \frac{R_i}{R_i + R_s} v_s \quad\Rightarrow\quad v_1 = \frac{100\text{k}\Omega}{100\text{k}\Omega + 33\Omega} \cdot 0.6\text{mV} \approx 0.6\text{mV}$$

	Spenningen $Av_1 $, der $A = 10^4 $ blir $Av_1 = 6$V.

	Spenningen $v_2 $ blir da spenningen over $R_L $. Den er

	$$ v_2 = \frac{R_L}{R_L + R_0} Av_1 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \frac{1\text{k}\Omega}{1\text{k}\Omega + 200\Omega} = 5\text{V}$$

	\item Se \figref{graph:oppgave1b}


	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/SkissetTegning.png}
		\caption{Skissert spenning $v_2 $ med ikke-ideell op-amp}
		\label{graph:oppgave1b}
	\end{figure}

	\item
	Signalet er klippet fra 5V og oppver. Dette kan forhindres ved å senke amplituden til inngangssignalet ned til $0.5$mV. Dette kan gjøres ved å øke motstanden $R_s $ og senke $R_i $.

\end{alphaparts}


\question

\begin{alphaparts}
	\item 
	Kretsen i figur 3 er en buffer. Den vil kunne ta inn et inngangssignal og levere akkurat det samme tilbake til kretsen. Den har en forsterkning på 1, altså det samme signalet inn som ut. Den brukes ofte der kretsen som leverer signalet ikke klarer å levere nok strøm til det den leverer til. Bufferen klarer da å levere nok strøm.


	\item 

	Kretsen i figur 4 er en inverterende forsterker. Det går ingen strøm gjennom forsterkeren, men det går en strøm fra $v_i $ til $v_o $. Vi kan da sette opp KVL, basert på at det går en strøm fra $v_i $ til $v_o $.

	\begin{align}
		-v_i + R_1 \cdot i + R_2 \cdot i + v_o = 0
		\label{eq:2b}
	\end{align} 
	Vi har også at spenningen til terminalene er like mellom seg, og at den ikke inverterende er koblet til jord.

	$$ -v_i + R_1\cdot i = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad i = \frac{v_i}{R_1} $$

	Setter vi dette inn i (\ref{eq:2b}), får vi

	\begin{align*}
		-v_i + R_1 \cdot \frac{v_i}{R_1} + R_2 \cdot \frac{v_i}{R_1} + v_o &= 0 \\
		\frac{v_o}{v_i} &= -\frac{R_2}{R_1}
	\end{align*}

	\item 

	Kretsen i figur 5 er en ikke inverterende forsterker. Spenningen over terminalene er lik. Bruker nodespenning.

	\begin{align*}
		\frac{v_i}{R_1} + \frac{v_i + v_o}{R_2} &= 0 \\
		\frac{R_2}{R_1} &= \frac{-v_i + v_o}{v_i} \\
		\frac{v_o}{v_i} - 1 &= \frac{R_2}{R_1} \\
		\frac{v_o}{v_i} &= \frac{R_2 + R_1}{R_1}
	\end{align*}

	\item 

	Kretsen i figur 6 er en derivator. Vi vet at strømmen gjennom en kondensator er $ i_c = C\frac{dv_c}{dt} $ Vi vet også at det ikke går noe strøm gjennom forsterkeren, så all strøm må gå gjennom motstanden $R_1 $. Siden det ikke er noen spenning mellom terminalene på forsterkeren, og den ikke inverterende er koblet til jord vil spenningen over motstanden $R_1 $ være $-v_o $

	Setter dette lik hverandre.

	\begin{align*}
		C\frac{dv_i}{dt} &= \frac{-v_o}{R_1}\\
		v_o &= -RC\frac{dv_i}{dt}
	\end{align*}

	\item 

	Kretsen i figur 7 er en integrator. Her er det tilsvarende som oppgaven over.

	Finner strømmen gjennom $R $ og $C $.

	\begin{align*}
		\frac{v_i}{R_1} &= -C\frac{dv_o}{dt} \\
		\frac{dv_o}{dt} &= -\frac{v_i}{RC} \\
		v_o &= -\frac{1}{RC}\int v_i\ dt
	\end{align*}

	\item 

	Kretsen i figur 8 er en komparator. Den har en terskelspenning som kan settes på den inverterende inngangen. Dersom inngangssignalet er mindre enn terskelspenningen vil utgangssignalet trekkes ned mot det nedre spenningsforsyningen. 
	Dersom den er større, vil utgangssignalet trekkes til den øvre spenningsforsyning.

\end{alphaparts}

\question

\begin{alphaparts}
	\item Kretsen i figur 9 fungerer ikke på samme måte som kretsen i figur 4 (inverterende forsterker). Denne kretsen vil vokse veldig fort oppover når inngangsspenning er positiv og omvendt når inngangen er negativ. 

	Etter litt søking på internettet er dette en ``Schmitt-trigger'' \footnote{Wikipedia contributors. (2019, January 20). Operational amplifier. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 10:43, February 7, 2019, from \url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Operational_amplifier&oldid=879387924}}

	\item
	Dersom $v_1 $ er et trekantsignal vil signalet ut på $v_2 $ bli et firkantsignal.

	\item

	Dersom vi integrerer et firkantsignal vil vi få en kurve som alternerer mellom et konstant stignigstall som er positivt og et negativt. Den eneste kurven som passer dette, er en trekantbølge.


\end{alphaparts}


\question

\begin{alphaparts}
	\item Krets koblet opp. Inngangsamplitude er på $0.1$V. Forventet utgangsamplitude er $1$V, forsterkingen er på -10. Valgte motstander $R_1 = 1\text{k}\Omega $ og $R_2 = 10\text{k}\Omega$
	Vi kan se forsterkningssignalet i \figref{graph:oppgave4a}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic/vanligForsterker.JPG}
		\caption{Oppkoblet krets etter Figur 4 i oppgavetekten, en inverterende forsterker}
		\label{pic:oppgave4a}
	\end{figure}


	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=\textwidth]{graf/0.1V1K.png}
		\caption{OP-Amp med inngangsspenning $0.1$V og forventet utgangsspenning på $1$V}
		\label{graph:oppgave4a}
	\end{figure}

	\item
	Forsterkeren blir mettet når inngangssignalet overstiger 0.5V. Vi kan se dette i grafen i \figref{graph:oppgave4b}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=\textwidth]{graf/0.5V1K.png}
		\caption{OP-Amp med inngangsspenning $0.5$V. Her klipper forsterkeren på ca 4V}
		\label{graph:oppgave4b}
	\end{figure}

\end{alphaparts}

\clearpage
\question

Kobler opp kretsen i oppgave 5. Bruker inngangsspenning 1V og spenningskilde 5V og -5V. Bruker et 10k potmeter. Kan variere forsterkningen fra 3.45V til 0.18V, eller i dB, ca +10db til -14.9dB

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pic/varierendeForsterker.JPG}
	\caption{Fysisk krets for en varierende inverterende forserker}
	\label{pic:oppgave5}
\end{figure}


\end{document}
